[论文解读] Free Brownian motion and free convolution semigroups: multiplicative case

Ping Zhong|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2012

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过自由卷积半群在单位圆上建立了乘法自由布朗运动框架，推导出次序关系，并刻画了乘法布尔与自由卷积变换。关键贡献在于建立了一个函数方程，将测度的 $Σ$-变换与其在乘法自由卷积下的次序关系联系起来，将 Bercovici-Pata 双射推广至单位圆上的乘法自由无限可分性设定。

ABSTRACT

We consider a pair of probability measures $μ,ν$ on the unit circle such that $Σ_λ(η_ν(z))=z/η_μ(z)$. We prove that the same type of equation holds for any $t\geq 0$ when we replace $ν$ by $ν\boxtimesλ_t$ and $μ$ by $\mathbb{M}_t(μ)$, where $λ_t$ is the free multiplicative analogue of the normal distribution on the unit circle of $\mathbb{C}$ and $\mathbb{M}_t$ is the map defined by Arizmendi and Hasebe. These equations are a multiplicative analogue of equations studied by Belinschi and Nica. In order to achieve this result, we study infinite divisibility of the measures associated with subordination functions in multiplicative free Brownian motion and multiplicative free convolution semigroups. We use the modified $\mathcal{S}$-transform introduced by Raj Rao and Speicher to deal with the case that $ν$ has mean zero. The same type of the result holds for convolutions on the positive real line. We also obtain some regularity properties for the free multiplicative analogue of the normal distributions.

研究动机与目标

• 通过自由卷积半群在单位圆上建立乘法自由布朗运动框架。
• 刻画单位圆上乘法自由卷积的次序函数。
• 将 Bercovici-Pata 双射从加法推广至单位圆上的乘法自由无限可分性设定。
• 推导乘法自由卷积下 $Σ$-变换与 $η$-变换之间的函数方程。
• 在单位圆上建立乘法自由无限可分性的 Lévy-Hinōin 型表示。

提出的方法

• 使用 $η$-变换与 $Σ$-变换刻画单位圆上的概率测度及其乘法自由卷积。
• 应用解析延拓与反函数技术，推导乘法自由卷积下测度之间的次序关系。
• 运用解析函数的 Herglotz 表示，将 $Σ$-变换表示为测度与实参数的函数。
• 推导一个函数方程，将 $k_{\mu}(z) = z / \eta_{\mu}(z)$ 与 Herglotz 积分的指数形式联系起来，从而刻画无限可分性。
• 通过 $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$ 的右逆定义 $\mu^{\boxtimes t}$，即 $\eta_{\mu^{\boxtimes t}}(z) = \eta_{\mu}(\omega_t(z))$。
• 应用 $\mu^{\boxtimes 2}$ 相对于 $\mu$ 的次序函数 $\omega_2$，定义测度 $\sigma = \mathbb{M}(\mu)$，并将其与 Bercovici-Pata 双射联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过单位圆上的次序函数刻画乘法自由布朗运动？
• RQ2 测度的 $\Sigma$-变换与其在乘法自由卷积下的次序之间存在何种函数关系？
• RQ3 在何种条件下，函数 $k_{\mu}(z)$ 可表示为 $\Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ 的形式（对某个 $\nu$）？
• RQ4 Bercovici-Pata 双射如何从加法设定推广至单位圆上的乘法自由无限可分性设定？
• RQ5 均值 $m_1(\mu)$ 在确定 $k_{\mu}(z)$ 的结构及其与单位圆上自由正态分布的关系中起何种精确作用？

主要发现

• 测度 $\mu^{\boxtimes 2}$ 相对于 $\mu$ 的次序函数 $\omega_2$ 满足 $\eta_{\sigma}(z) = \omega_2(z)$，且对应的测度 $\sigma$ 等于 $\mathbb{M}(\mu)$，即 $\mu$ 在乘法 Bercovici-Pata 双射下的像。
• 对于 $\mu \in \mathcal{ID}(\boxtimes, \mathrm{T})$，函数 $H(z) = z\Sigma_{\mu}(z)$ 是 $\eta_{\mu}(z)$ 的左逆，且 $H$ 将单位圆映射到一个由简单闭曲线围成的单连通区域。
• 单位圆上 $\boxtimes$-无限可分测度的 $\Sigma$-变换具有 Lévy-Hinōin 表示：$\Sigma_{\mu}(z) = \exp\left(\alpha i + \int_{\mathrm{T}} \frac{1+\xi z}{1-\xi z} d\sigma(\xi)\right)$。
• 当且仅当 $|m_1(\mu)| = e^{-1/2}$ 时，条件 $k_{\mu}(z) = \Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ 成立，从而将 $\mu$ 的均值与圆上的自由正态分布联系起来。
• ${1}/{m_1(\mu)}$ 的辐角等于 $b \in [0, 2\pi)$，且 Lévy 测度 $\tau$ 的总变差满足 $\tau(\mathrm{T}) = \ln|1/m_1(\mu)|$，从而通过 Herglotz 表示对 $k_{\mu}$ 实现了完整的参数化。
• 对于 $\mu \in \mathcal{M}_{\mathrm{T}}^*$ 且 $m_1(\mu) > 0$，测度 $\mu^{\boxtimes t}$ 可通过 $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$ 的右逆 $\omega_t$ 定义，其中 $u(z)$ 由 $k_{\mu}(z) = \exp(u(z))$ 导出。