[论文解读] Semigroups related to additive and multiplicative, free and Boolean convolutions

Octavio Arizmendi, Takahiro Hasebe|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文引入并分析了加法与乘法自由卷积的自由可分性指标，扩展了Belinschi与Nica的半群框架。研究证明了指标在布尔幂与自由幂下的可预测变换规律，证实了Boçejko关于布尔幂自由无限可分性的猜想，并将布尔到自由的Bercovici-Pata双射的不动点刻画为δ分布与柯西分布。

ABSTRACT

Belinschi and Nica introduced a composition semigroup on the set of probability measures. Using this semigroup, they introduced a free divisibility indicator, from which one can know whether a probability measure is freely infinitely divisible or not. In this paper we further investigate this indicator, introduce a multiplicative version of it and are able to show many properties. Specifically, on the first half of the paper, we calculate how the indicator changes with respect to free and Boolean powers; we prove that free and Boolean 1/2-stable laws have free divisibility indicators equal to infinity; we derive an upper bound of the indicator in terms of Jacobi parameters. This upper bound is achieved only by free Meixner distributions. We also prove Bozejko's conjecture which says the Boolean power of a probability measure mu by 0 < t < 1 is freely infinitely divisible if mu is so. In the other half of this paper, we introduce an analogous composition semigroup for multiplicative convolutions and define free divisibility indicators for these convolutions. Moreover, we prove that a probability measure on the unit circle is freely infinitely divisible concerning the multiplicative free convolution if and only if the indicator is not less than one. We also prove how the multiplicative divisibility indicator changes under free and Boolean powers and then the multiplicative analogue of Bozejko's conjecture. We include an appendix, where the Cauchy distributions and point measures are shown to be the only fixed points of the Boolean-to-free Bercovici-Pata bijection.

研究动机与目标

• 将自由可分性指标理论从加法自由卷积扩展至单位圆上的乘法自由卷积。
• 解决Boçejko关于自由无限可分性布尔幂的猜想。
• 以雅可比参数表示自由可分性指标的上界，并确定达到该上界的分布。
• 识别布尔到自由的Bercovici-Pata双射的不动点，确认一个长期悬而未决的开放问题。
• 建立自由可分性指标在自由幂与布尔幂下的变换规律，提供新的结构洞见。

提出的方法

• 构造加法自由卷积与布尔卷积的复合半群 $\mathbb{B}_t(\mu) = (\mu^{\boxplus(1+t)})^{\uplus 1/(1+t)}$。
• 定义自由可分性指标 $\phi(\mu) = \sup\{t \geq 0 : \mu^{\uplus t} \text{ 是自由无限可分的} \}$，并将其与半群行为联系起来。
• 利用雅可比参数展开，推导出 $\phi(\mu)$ 的上界，适用于四阶矩有限的测度。
• 通过谱分析与矩方法证明，仅自由麦克斯纳分布能实现该上界。
• 为单位圆上的测度引入半群的乘法类比，使用自由乘法卷积 $\boxtimes$。
• 建立 $\phi_{\text{mult}}(\mu) \geq 1$ 与乘法自由卷积下自由无限可分性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由可分性指标 $\phi(\mu)$ 在布尔幂与自由幂下的行为如何？
• RQ2 若 $\mu$ 是自由无限可分的，是否对所有 $t \in [0,1]$ 都有布尔幂 $\mu^{\uplus t}$ 是自由无限可分的？（Boçejko猜想）
• RQ3 以雅可比参数表示的自由可分性指标的上界是什么？哪些测度能实现该上界？
• RQ4 哪些概率测度是布尔到自由的Bercovici-Pata双射的不动点？
• RQ5 如何刻画单位圆上乘法自由卷积下的自由无限可分性？

主要发现

• 自由可分性指标满足 $\phi(\mu^{\uplus t}) = \phi(\mu)/t$ 对所有 $t > 0$ 成立，提供了缩放规律。
• Boçejko猜想得证：若 $\mu$ 是自由无限可分的，则对所有 $t \in [0,1]$，$\mu^{\uplus t}$ 均为自由无限可分。
• 索引为 $1/2$ 的自由稳定分布与布尔严格稳定分布的自由可分性指标为无穷大。
• 以雅可比参数表示的 $\phi(\mu)$ 上界，当且仅当 $\mu$ 是自由麦克斯纳分布时被实现。
• δ分布与柯西分布是布尔到自由的Bercovici-Pata双射的唯一不动点。
• 单位圆上的概率测度在乘法自由卷积下为自由无限可分的，当且仅当其乘法自由可分性指标至少为1。