[论文解读] Free lattice ordered groups and the topology on the space of left orderings of a group

Adam Clay|ArXiv.org|Sep 1, 2009

semigroups and automata theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

该论文建立了自由格序群 $F(G)$ 中同态核与群 $G$ 的左序空间 $LO(G)$ 的拓扑之间的新联系，从而给出了一个新证明：没有任何左序群具有可数多个左序。此外，论文进一步证明，对于自由群 $F_n$，存在一个左序，其在 $LO(F_n)$ 中的轨道是稠密的，这意味着 $LO(F_n)$ 中无孤立点，且 $F(F_n)$ 中无基本元素。

ABSTRACT

For any left orderable group G, we recall from work of McCleary that isolated points in the space of left orderings correspond to basic elements in the free lattice ordered group over G. We then establish a new connection between the kernels of certain maps in the free lattice ordered group over G, and the topology on the space of left orderings of G. This connection yields a simple proof that no left orderable group has countably infinitely many left orderings. When we take G to be the free group of rank n, this connection sheds new light on the space of left orderings of the free group: by applying a result of Kopytov, we show that there exists a left ordering of the free group whose orbit is dense in the space of left orderings. From this, we obtain a new proof that the space of left orderings of a free group contains no isolated points.

研究动机与目标

• 建立自由格序群的代数结构与群的左序空间的拓扑性质之间的联系。
• 通过 $F(G)$ 中的核分析，证明没有任何左序群可以具有可数多个左序。
• 利用 Kopytov 的一个结果，证明自由群 $F_n$ 的左序空间 $LO(F_n)$ 中存在一个具有稠密轨道的左序。
• 证明 $LO(F_n)$ 中不包含孤立点，等价于 $F(F_n)$ 中不包含基本元素。

提出的方法

• 利用 McCleary 的结果：$LO(G)$ 中的孤立点对应于自由格序群 $F(G)$ 中的基本元素。
• 分析从 $F(G)$ 到 $\mathrm{Aut}(G, <_P)$ 的自然同态 $\pi_P$ 的核，其中 $P \in LO(G)$ 为正锥。
• 应用 Kopytov 的一个结果，构造自由群 $F_n$ 的一个左序，使其在 $F_n$ 作用下具有稠密轨道。
• 使用轨道闭包准则：若 $P$ 不在 $\mathrm{Orb}_G(P)$ 的闭包中，则 $\ker(\pi_P) \not\subset \ker(\pi_{P^{-1}})$。
• 在 $LO(G) \subset 2^G$ 上使用乘积拓扑，其子基为 $U_g = \{P \in LO(G) \mid g \in P\}$。
• 应用如下事实：Conradian 序对应于局部可迹群，并利用凸子群分析轨道闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 同态 $\pi_P: F(G) \to \mathrm{Aut}(G, <_P)$ 的核是否决定 $P$ 在 $LO(G)$ 中是否为孤立点？
• RQ2 能否通过 $F(F_n)$ 的代数性质来确立 $LO(F_n)$ 中稠密轨道的存在性？
• RQ3 是否可能存在一个左序群，其左序数量仅为可数个？
• RQ4 在何种条件下，$G$ 在 $LO(G)$ 上的作用下会包含一个稠密轨道？

主要发现

• 通过 $F(G)$ 中的核分析，证明没有任何左序群具有可数多个左序。
• 对于自由群 $F_n$，存在一个左序，其在 $LO(F_n)$ 中的轨道是稠密的，该结论基于 Kopytov 的一个结果。
• $LO(F_n)$ 中不包含孤立点，这等价于 $F(F_n)$ 中不包含基本元素。
• $T_\infty$ 群的左序空间 $LO(T_\infty)$ 等于任意正锥轨道的闭包，因此 $LO(T_\infty)$ 是极小的且具有拓扑传递性。
• 对于 $n > 2$ 的 braid 群 $B_n$，其 $LO(B_n)$ 包含孤立点，因此不包含稠密轨道，与一般准则一致。
• 对于所有左序均为 Conradian 的有限生成群，$LO(G)$ 不可能包含稠密轨道，原因在于凸子群外元素的共尾性。