[论文解读] Free Rota-Baxter family algebras and Free (tri)dendriform family algebras

Yuanyuan Zhang, Xing Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文通过使用带类型的角装饰平面根树，构建了自由Rota-Baxter族代数，提供了一种与以往基于森林的方法不同的新实现方式。它证明了权重为零（相应地，非零）的自由Rota-Baxter族代数是自由 dendriform（相应地，tridendriform）族代数的普遍包络代数，从而将这些结构自然地嵌入Rota-Baxter框架之中。

ABSTRACT

In this paper, we first construct the free Rota-Baxter family algebra generated by some set $X$ in terms of typed angularly $X$-decorated planar rooted trees. As an application, we obtain a new construction of the free Rota-Baxter algebra only in terms of angularly decorated planar rooted trees (not forests), which is quite different from the known construction via angularly decorated planar rooted forests by K. Ebrahimi-Fard and L. Guo. We then embed the free dendriform (resp. tridendriform) family algebra into the free Rota-Baxter family algebra of weight zero (resp. one). Finally, we prove that the free Rota-Baxter family algebra is the universal enveloping algebra of the free (tri)dendriform family algebra.

研究动机与目标

• 通过使用带类型的角装饰平面根树，提供自由Rota-Baxter族代数的新代数构造。
• 证明该构造与基于森林的现有方法相比，提供了自由Rota-Baxter代数的不同实现方式。
• 将自由dendriform族代数和自由tridendriform族代数分别嵌入到权重为零和权重为一的自由Rota-Baxter族代数中。
• 证明自由Rota-Baxter族代数是自由(dendriform/tridendriform)族代数的普遍包络代数。
• 通过组合树模型，统一Rota-Baxter、dendriform和tridendriform代数的族代数结构。

提出的方法

• 在带类型角装饰平面根树的线性张量上定义乘法，其指标由一个幺半群Ω给出。
• 引入Rota-Baxter族词的集合，并构造一个从该集合到带类型角装饰平面根树集合的双射ψ。
• 利用双射ψ以及先前关于自由(dendriform/tridendriform)族代数的研究结果，证明这些树的线性张量构成一个自由Rota-Baxter族代数。
• 通过带类型装饰平面二叉树的包含关系，将自由dendriform族代数嵌入到权重为零的自由Rota-Baxter族代数中。
• 通过带类型Schröder树的包含关系，将自由tridendriform族代数嵌入到权重为一的自由Rota-Baxter族代数中。
• 通过自然包含映射和代数的普遍性质，证明自由Rota-Baxter族代数是自由(dendriform/tridendriform)族代数的普遍包络代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用森林的情况下，直接从角装饰平面根树构造自由Rota-Baxter族代数？
• RQ2 dendriform族代数和tridendriform族代数与特定权重的Rota-Baxter族代数之间有何关系？
• RQ3 自由Rota-Baxter族代数与自由(dendriform/tridendriform)族代数之间是否存在普遍包络代数关系？
• RQ4 平面根树中二叉树和Schröder树的自然包含关系是否能在Rota-Baxter族代数中诱导出一个典范子代数结构？
• RQ5 幺半群Ω在通过带装饰树构造自由代数的过程中起着何种精确作用？

主要发现

• 由集合X生成的自由Rota-Baxter族代数被实现为带类型角装饰平面根树的线性张量，提供了一种独立于基于森林构造的新型组合模型。
• 在Rota-Baxter族词与带类型角装饰平面根树之间建立了一个双射ψ，从而实现了自由Rota-Baxter族代数的构造。
• 通过带类型装饰平面二叉树的包含关系，自由dendriform族代数作为典范子代数被嵌入到权重为零的自由Rota-Baxter族代数中。
• 通过带类型Schröder树的包含关系，自由tridendriform族代数作为典范子代数被嵌入到权重为一的自由Rota-Baxter族代数中。
• 当λ = 0（dendriform）或λ ≠ 0（tridendriform）时，权重为λ的自由Rota-Baxter族代数分别是自由(dendriform/tridendriform)族代数的普遍包络代数。
• 通过自然包含映射和代数的普遍性质，该构造确认了普遍包络性质，将已知结果推广到了族代数设定中。