[论文解读] Generalized dendrifom algebras and typed binary trees

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2020

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文引入了 Ω-dendriform 代数，这是一种在类型化二叉树上使用类型集 Ω 上的四种运算的广义非结合代数结构，统一并推广了匹配与家族 dendriform 代数。它证明了此类结构源于满足四个公理的扩展双结合半群（EDS），构建了在类型化树与字上的自由代数，证明了相关操作律的 Koszul 对偶性，并提供了显式的余乘法结构，从而实现 dendriform bialgebra 结构。

ABSTRACT

We here both unify and generalize nonassociative structures on typed binary trees, that is to say plane binary trees which edges are decorated by elements of a set $Ω$. We prove that we obtain such a structure, called an $Ω$-dendriform structure, if $Ω$ has four products satisfying certain axioms (EDS axioms), including the axioms of a diassociative semigroup. This includes matching dendriform algebras introduced by Zhang, Gao and Guo and family dendriform algebras associated to a semigroup introduced by Zhang, Gao and Manchon , and of course dendriform algebras when $Ω$ is reduced to a single element. We also give examples of EDS, including all the EDS of cardinality two; a combinatorial description of the products of such a structure on typed binary trees, but also on words; a study of the Koszul dual of the associated operads; and considerations on the existence of a coproduct, in order to obtain dendriform bialgebras.

研究动机与目标

• 通过在类型化二叉树上引入更广泛的非结合代数类，统一并推广现有的 dendriform 型代数，如匹配与家族 dendriform 代数。
• 通过类型集 Ω 上的四种运算定义 Ω-dendriform 代数，满足一组新的公理（EDS 公理），包括双结合半群结构。
• 在类型化二叉树与类型化字上构建自由 Ω-dendriform 代数，推广 Loday-Ronco 对无类型树的构造。
• 研究控制 Ω-dendriform 代数的操守的 Koszul 对偶性，将同调代数工具扩展至类型化设定。
• 研究在类型化树与字上余乘法的存在性，导出 dendriform bialgebra 结构，并提供这些余乘法的组合描述。

提出的方法

• 将扩展双结合半群（EDS）定义为一个集合 Ω，配备四种二元运算 Ð、Ñ、Ÿ、Ź，满足特定公理，包括双结合半群结构。
• 将 Ω-dendriform 代数定义为向量空间，其乘积 ăα, ąα 由 Ω 索引，满足涉及 Ω 上四种运算的三个公理。
• 证明在单个生成元上的自由 Ω-dendriform 代数在由 Ω-类型平面二叉树张成的向量空间上实现，乘积通过树的分解递归定义。
• 通过从树上的自由 Ω-dendriform 代数到类型化字上的混洗型代数的同态，将构造扩展至类型化字。
• 通过定义可接受切割并递归地利用 Ω 上的四种运算，提供 Ω-类型树上余乘法的组合描述。
• 利用 dendriform 乘积与余乘法之间的相容性，证明余乘法是良定义的，并满足 dendriform bialgebra 公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在单一代数框架下统一匹配与家族 dendriform 代数？
• RQ2 类型集 Ω 上的四种运算必须满足哪些公理，才能在类型化二叉树上诱导出一致的 Ω-dendriform 代数结构？
• RQ3 在单个生成元上的自由 Ω-dendriform 代数的结构是什么？它如何推广 Loday-Ronco 的构造？
• RQ4 控制 Ω-dendriform 代数的操守的 Koszul 对偶是什么？它与原操守有何关系？
• RQ5 在什么条件下，类型化树与字上存在余乘法？如何显式地进行组合描述？

主要发现

• 本文证明，Ω-dendriform 代数由 Ω 上满足 EDS 公理的四种运算定义，这些公理统一并推广了匹配与家族 dendriform 代数。
• 在单个生成元上的自由 Ω-dendriform 代数在由 Ω-类型平面二叉树张成的向量空间上实现，乘积通过树的分解递归定义。
• 对于任意非退化的交换 EDS，biallygebra KΩbSh+Ω(V) 中类型化字上的余乘法由切割求和给出，系数由运算 ð、đ、Ð、Ź 确定。
• Ω-类型树上的余乘法通过可接受切割显式描述，其中每个切割将树分解为左右两部分，余乘法通过递归使用 Ω 上的四种运算计算。
• 余乘法满足 ιc(α ⊗ R_c(T)) = α ⊗ R_c(T)，对任意可接受切割 c 成立，证明其与 dendriform 结构相容。
• 当 Ω 关于二元运算 ‹ 构成群时，树上的余乘法形式为 T_e(α₀) = α₀‹⋯‹α_k ⊗ T_e，推广了类型上的群作用。