[论文解读] From Directed Polymers in Spatial-correlated Environment to Stochastic Heat Equations Driven by Fractional Noise in 1 + 1 Dimensions

Guanglin Rang|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文建立了在长程相关随机环境中，1+1维下定向聚合物的缩放配分函数弱收敛于由分数布朗运动驱动的随机热方程解的结果。在环境具有代数相关性衰减的条件下，极限方程的分数阶赫斯特参数与相关性指数一致，该结果通过多重伊藤积分及平稳场的谱分析推导得出。

ABSTRACT

We consider the limit behavior of partition function of directed polymers in random environment represented by linear model instead of a family of i.i.d.variables in $1+1$ dimensions. Under the assumption that the correlation decays algebraically, using the method developed in [Ann. Probab., 42(3):1212-1256, 2014], under a new scaling we show the scaled partition function as a process defined on $[0,1] imes\RR$, converges weakly to the solution to some stochastic heat equations driven by fractional Brownian field. The Hurst parameter is determined by the correlation exponent of the random environment. Here multiple Itô integral with respect to fractional Gaussian field and spectral representation of stationary process are heavily involved.

研究动机与目标

• 研究具有相关性衰减的时空相关随机环境中，定向聚合物在长时间尺度下的极限行为。
• 建立缩放配分函数弱收敛于由分数噪声驱动的随机热方程（SHE）的解。
• 将极限噪声的分数阶赫斯特参数识别为环境相关性指数的函数。
• 发展并应用谱表示与多重伊藤积分技术，以处理非独立同分布的随机环境。
• 将先前在独立同分布环境下的结果，推广至1+1维下的长程相关设定。

提出的方法

• 采用配分函数的线性化模型，而非标准的指数形式，以提升分析可处理性。
• 应用 Ann. Probab. 42(3):1212–1256 (2014) 中的方法，以处理具有长程相关性的非独立同分布环境。
• 利用关于分数阶高斯场的多重伊藤积分，表示配分函数的混沌展开。
• 利用平稳随机场的谱表示，分析环境的相关性结构。
• 应用科莫戈罗夫紧致性准则，证明时间-空间过程中弱收敛性。
• 使用傅里叶分析与局部中心极限定理，估计配分函数的时间与空间增量的矩。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机环境中长程空间相关性如何影响定向聚合物配分函数的标度极限？
• RQ2 作为缩放配分函数弱极限的随机热方程的精确形式是什么？
• RQ3 极限分数噪声的赫斯特参数与环境相关性指数之间有何关系？
• RQ4 是否可利用多重伊藤积分与谱方法，在非独立同分布环境中建立收敛结果？
• RQ5 在何种矩条件下，极限过程存在且满足紧致性？

主要发现

• 缩放配分函数弱收敛于1+1维下由分数布朗运动驱动的随机热方程的解。
• 极限分数噪声的赫斯特参数 H 等于空间相关环境的相关性指数。
• 通过简单对称随机游动转移概率的多重伊藤积分混沌展开，建立了收敛性。
• 极限过程满足霍尔德型矩界：E|z_n(t,x)−z_n(s,y)|^{2q} ≤ C_ε(|t−s|^{Hq} + |x−y|^{ιq})，其中 ι < H 且 q > 1。
• 在环境的2q阶矩有限（q > 2/H）的假设下，证明了过程 {z_n} 在 C([ε,1], ℝ) 中的紧致性。
• 该结果将先前关于独立同分布环境的工作推广至长程空间相关情形，此时噪声结构由分数布朗运动决定。