[论文解读] From Loop Groups to 2-Groups

John C. Baez, Alissa S. Crans+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 21

一句话总结

本文构建了一个无穷维弗雷chet李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$，其李2-代数与一个单连通紧致单李群 $G$ 及其层级 $k\in\mathbb{Z}$ 关联的李2-代数 $\frak{g}_k$ 等价。关键结果是：尽管当 $k\neq 0$ 时 $\frak{g}_k$ 无法积分成有限维李2-群，但它可以积分成由 $G$ 中的基于路径及环路群 $\Omega G$ 的层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张所构建的无穷维李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$，且当 $G={\rm Spin}(n)$ 且 $k=\pm1$ 时，其几何实现同伦等价于 $\rm{String}(n)$。该结果解决了高阶规范理论中长期存在的障碍，并通过高阶范畴结构为 $\rm{String}$ 群提供了几何模型。

ABSTRACT

We describe an interesting relation between Lie 2-algebras, the Kac-Moody central extensions of loop groups, and the group $\mathrm{String}(n)$. A Lie 2-algebra is a categorified version of a Lie algebra where the Jacobi identity holds up to a natural isomorphism called the "Jacobiator". Similarly, a Lie 2-group is a categorified version of a Lie group. If $G$ is a simply-connected compact simple Lie group, there is a 1-parameter family of Lie 2-algebras $\mathfrak{g}_k$ each having $\mathrm{Lie}(G)$ as its Lie algebra of objects, but with a Jacobiator built from the canonical 3-form on $G$. There appears to be no Lie 2-group having $\mathfrak{g}_k$ as its Lie 2-algebra, except when $k = 0$. Here, however, we construct for integral k an infinite-dimensional Lie 2-group whose Lie 2-algebra is equivalent to $\mathfrak{g}_k$. The objects of this 2-group are based paths in $G$, while the automorphisms of any object form the level-$k$ Kac-Moody central extension of the loop group of $G$. This 2-group is closely related to the $k$th power of the canonical gerbe over $G$. Its nerve gives a topological group that is an extension of $G$ by $K(\mathbb{Z},2)$. When $k = \pm 1$, this topological group can also be obtained by killing the third homotopy group of $G$. Thus, when $G = \mathrm{Spin}(n)$, it is none other than $\mathrm{String}(n)$.

研究动机与目标

• 为解决当 $k \neq 0$ 时李2-代数 $\frak{g}_k$ 无法被积分成有限维李2-群的障碍。
• 通过高阶范畴结构（特别是李2-群）构建 $\rm{String}(n)$ 的几何模型。
• 在环路群 $\Omega G$ 的层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张与李2-群结构中自同态之间建立精确对应关系。
• 证明所构建的李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$ 的几何实现当 $G = {\rm Spin}(n)$ 且 $k = \pm1$ 时，与 $\rm{String}(n)$ 同伦等价。
• 使用基于路径空间与中心扩张构建的李2-群结构，为通过杀死 $\pi_3(G)$ 得到的拓扑群 $\hat{G}$ 提供新的几何实现。

提出的方法

• 构建李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$，其对象为 $G$ 中的基于环路，而固定对象上的态射为环路群 $\Omega G$ 的层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张的元素。
• 通过层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张中的群乘法定义态射的复合，其中包含 Kac–Moody 上链 $k\omega$。
• 为基于路径的集合（对象）和带中心扩张的基于环路（态射）配备弗雷chet流形结构，以确保在无穷维设定下的光滑性。
• 使用单纯复形构造，从李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$ 推出一个拓扑群 $|\tilde{\rm P}_kG|$，其被证明是 $G$ 对 $K(\mathbb{Z},2)$ 的扩张。
• 证明当 $k = \pm1$ 且 $G = {\rm Spin}(n)$ 时，几何实现 $|\tilde{\rm P}_kG|$ 同伦等价于 ${\rm String}(n)$，即环路群的万有覆叠且 $\pi_3$ 被杀死。
• 通过一系列自然同构建立 $\frak{g}_k$ 与 $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$（即 $\tilde{\rm P}_kG$ 的李2-代数）之间的李2-代数等价性，表明 $\frak{g}_k$ 的雅可比器来自 $G$ 上的典范左不变3-形式 $\nu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将由单连通紧致单李群 $G$ 上典范3-形式导出的李2-代数 $\frak{g}_k$ 对于整数 $k$ 积分成李2-群？
• RQ2 为何从 $\frak{g}_k$ 标准构造的2-群在 $k \neq 0$ 时无法得到光滑李2-群？这一障碍如何克服？
• RQ3 李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$ 的几何实现是什么？它与 $\rm{String}(n)$ 有何关系？
• RQ4 环路群 $\Omega G$ 的层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张如何编码于 $\tilde{\rm P}_kG$ 中对象的自同态群中？
• RQ5 是否存在一个结构2-群为 $\tilde{\rm P}_kG$ 的2-丛结构，可作为流形上弦结构的几何模型？它与特征类 $p_1/2$ 的关系如何？

主要发现

• 对于任意整数 $k$，无穷维弗雷chet李2-群 $\tilde{\rm P}_kG$ 存在，且可积 $\frak{g}_k$，从而解决了 $k \neq 0$ 时的积分障碍。
• 几何实现 $|\tilde{\rm P}_kG|$ 是 $G$ 对 $K(\mathbb{Z},2)$ 的拓扑群扩张，其迪克曼-道伊特类为 $k[\nu/2\pi] \in H^3(G, \mathbb{Z})$。
• 当 $G = {\rm Spin}(n)$ 且 $k = \pm1$ 时，几何实现 $|\tilde{\rm P}_kG|$ 同伦等价于 $\rm{String}(n)$，为 $\rm{String}(n)$ 提供了新的几何模型。
• $\tilde{\rm P}_kG$ 的李2-代数 $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$ 与 $\frak{g}_k$ 等价，其雅可比器同构由 $k\nu$ 给出，其中 $\nu$ 是 $G$ 上的典范左不变3-形式。
• $\tilde{\rm P}_kG$ 中任意对象的自同态群同构于 $\Omega G$ 的层级-$k$ Kac–Moody 中心扩张，这是构造中的关键要素。
• 该构造提供了一个结构2-群为 $\tilde{\rm P}_kG$ 的2-丛模型，可作为主 ${\rm String}(n)$-丛的替代，其将 $G$-丛提升为该2-丛的障碍位于 $H^4(M; \mathbb{Z})$ 中，且由 $p_1/2$ 给出。