[论文解读] From open quantum walks to unitary quantum walks

Chaobin Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出一种方法，将格点和有限图上的开放量子行走（OQWs）通过扩展Szegedy的量化框架转化为幺正量子行走。该方法定义了概率和平均概率分布，并证明了其渐近收敛性；当OQW转移算符为随机且幺正时，该构造可恢复Szegedy的量子行走，从而建立统一的量子行走形式化体系。

ABSTRACT

We present an idea to convert to a unitary quantum walk any open quantum walk which is defined on lattices as well as on finite graphs. This approach generalizes to the domain of open quantum walks (or quantum Markov chains) the framework introduced by Szegedy for quantizing Markov chains. For the unitary quantum walks formulated in this article, we define the probability and the mean probability of finding the walk at a node, then derive the asymptotic mean probability.

研究动机与目标

• 将Szegedy对马尔可夫链的量化推广至开放量子行走（OQWs），即经典随机行走的量子扩展。
• 定义一个保持格点和有限图上OQW动力学的幺正量子行走框架。
• 提出并分析在新幺正行走模型中，行走在某节点处的概率与平均概率。
• 证明平均概率分布的渐近收敛性，表明其依赖于初始状态和图的连通性。
• 证明Szegedy的量子行走可作为所提构造的特例被恢复。

提出的方法

• 定义扩展的希尔伯特空间 $ \mathfrak{B}(\mathcal{H}_C) \otimes \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ 以嵌入OQW动力学。
• 为每个顶点 $ j \in V $ 构造归一化态 $ |\psi_j\rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_k \sqrt{B_j^k \dagger B_j^k} \otimes |j\rangle \otimes |k\rangle $。
• 定义投影算符 $ \Pi = \sum_j |\psi_j\rangle\langle\psi_j| $，作用于这些态的张成空间。
• 引入一个交换算符 $ S = \sum_{j,k} |j,k\rangle\langle k,j| $，作用于位置寄存器。
• 将幺正行走算符定义为 $ U = S(2\Pi - I) $，与Szegedy的构造类似。
• 使用幺正演化 $ \rho_t = U^t \rho_0 $ 定义时间演化态，并计算节点概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地将格点和有限图上的开放量子行走转换为幺正量子行走？
• RQ2 所得到的幺正量子行走中，平均概率分布的渐近行为如何？
• RQ3 渐近分布如何依赖于初始状态和图的连通性？
• RQ4 所提出的幺正量化是否可恢复Szegedy的量子行走框架作为特例？
• RQ5 比特空间和转移算符在定义幺正演化中起什么作用？

主要发现

• 根据定理1，幺正量子行走的渐近平均概率分布收敛。
• 对于不连通图，渐近平均概率为 $ \overline{P}_\infty(1|\alpha_0) = \overline{P}_\infty(2|\alpha_0) = \frac{1}{2} $，表明其依赖于初始状态。
• 在连通图中，渐近分布可能唯一，暗示连通性与收敛性质之间存在关联。
• 所提的幺正行走构造推广了Szegedy的量化方法，当 $ B_j^k = \sqrt{p_{kj}} U_j^k $ 且 $ U_j^k $ 为幺正算符时，可恢复他的行走。
• 在 $ \mathcal{H}_V \otimes \mathcal{H}_V $ 与扩展空间子空间之间存在等距同构，确保与Szegedy模型的一致性。
• 该框架在单一量化方案下统一了OQWs、量子行走和幺正量子行走。