[论文解读] From quantum curves to topological string partition functions II

Ioana Coman, Pietro Longhi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 111被引用 27

一句话总结

本文通过量子曲线和等单变体tau函数，提出了对局部Calabi-Yau流形上拓扑弦分划函数的几何表征。通过将局部Calabi-Yau的经典几何进行量子化，作者将分划函数表示为与量子曲线模空间上Fock-Goncharov或Fenchel-Nielsen型坐标相关的广义theta级数展开。关键结果是：在模空间上存在一个自然的全纯线丛，其截面编码了分划函数，且在由精确WKB方法定义的Stokes线上，其归一化发生跳跃。

ABSTRACT

We propose a geometric characterisation of the topological string partition functions associated to the local Calabi-Yau (CY) manifolds used in the geometric engineering of $d=4$, $\mathcal{N}=2$ supersymmetric field theories of class $\mathcal{S}$. A quantisation of these CY manifolds defines differential operators called quantum curves. The partition functions are extracted from the isomonodromic tau-functions associated to the quantum curves by expansions of generalised theta series type. It turns out that the partition functions are in one-to-one correspondence with preferred coordinates on the moduli spaces of quantum curves defined using the Exact WKB method. The coordinates defined in this way jump across certain loci in the moduli space. The changes of normalisation of the tau-functions associated to these jumps define a natural line bundle playing a key role in the geometric characterisation of the topological string partition functions proposed here.

研究动机与目标

• 为类S理论中使用的局部Calabi-Yau流形上的拓扑弦分划函数提供一种非微扰的、几何化的定义。
• 建立拓扑弦分划函数与量子曲线模空间上坐标之间的对应关系。
• 通过等单变体tau函数和广义theta级数展开来表征分划函数。
• 识别出一个自然的全纯线丛，其定义于量子曲线的模空间上，该线丛控制分划函数的归一化和变换性质。

提出的方法

• 将由局部Calabi-Yau几何定义的经典代数曲线进行量子化，得到作为微分算子的量子曲线。
• 通过全纯联络和单值性数据的Riemann-Hilbert问题来表示量子曲线。
• 将自由费米子分划函数构造为等单变体形变问题的tau函数。
• 在模空间上以Fock-Goncharov或Fenchel-Nielsen型坐标表示这些tau函数的广义theta级数展开。
• 利用精确WKB方法在模空间上定义优选坐标，这些坐标表现出Stokes现象和归一化跳跃。
• 推导tau函数在裤分解或坐标系变换下的变换规律，识别出编码归一化跃迁的全纯线丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过量子曲线对局部Calabi-Yau流形上的拓扑弦分划函数进行几何表征？
• RQ2 等单变体tau函数在编码分划函数中起什么作用，它们与theta级数展开之间有何关系？
• RQ3 量子曲线模空间上的Fock-Goncharov和Fenchel-Nielsen型坐标如何与分划函数相关联？
• RQ4 在模空间中，tau函数沿Stokes线的归一化跳跃具有何种几何意义？
• RQ5 精确WKB方法如何提供一个规范的坐标系，以组织分划函数的展开？

主要发现

• 证明了拓扑弦分划函数与通过精确WKB方法定义的量子曲线模空间上的优选坐标之间存在一一对应关系。
• 分划函数作为等单变体tau函数的广义theta级数展开的系数出现，其中坐标为Fock-Goncharov或Fenchel-Nielsen型变量。
• 模空间中沿Stokes线的tau函数归一化跳跃由Voros符号控制，并定义了模空间上的一个全纯线丛。
• 不同坐标系（如Fock-Goncharov与Fenchel-Nielsen之间）的变换规律由Riemann-Hilbert问题导出的差分生成函数编码。
• 对于特定情形（如$C_{0,4}$和$C_{0,2}$），通过强耦合展开和theta级数显式计算了分划函数，结果与已知结论一致。
• 由归一化跃迁构造的全纯线丛被猜想与多重态模空间的几何以及II型弦理论中NS5膜的修正有关。