[论文解读] From the DeDonder-Weyl Hamiltonian formalism to quantization of Gravity

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Oct 22, 1998

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用 18

一句话总结

本文提出了一种基于 De Donder-Weyl (DW) 哈密顿形式的引力与场的显式协变化量子化框架，用时空 Clifford 代数取代复数，从而得到一种超复量子理论。该理论构建了一个协变的超复薛定谔方程，并简要探讨了其在广义相对论中的应用，提供了一种时间无关、几何统一的量子引力方法，避免了传统的时间问题。

ABSTRACT

An approach to quantization of fields and gravity based on the De Donder-Weyl covariant Hamiltonian formalism is outlined. It leads to a hypercomplex extension of quantum mechanics in which the algebra of complex numbers is replaced by the space-time Clifford algebra and all space-time variables enter on equal footing. A covariant hypercomplex analogue of the Schrödinger equation is formulated. Elements of quantization of General Relativity within the present framework are sketched.

研究动机与目标

• 通过在哈密顿形式中避免选取特定的时间坐标，解决量子引力中的“时间问题”。
• 利用 De Donder-Weyl (DW) 哈密顿形式，为场论和引力开发一种显式协变的量子化方案。
• 通过用时空 Clifford 代数取代复数，推广量子力学，从而得到一种超复量子理论。
• 构建一个适用于相对论性场论和引力的协变超复薛定谔方程类比。
• 探讨 Dirac-Kähler 方程是否可作为弯曲时空中的通用波函数形式化方法，避免自旋丛结构的限制。

提出的方法

• 利用 De Donder-Weyl 哈密顿形式，定义多动量 $ p_a^\mu = \partial L / \partial(\partial_\mu y^a) $ 和 DW 哈密顿量 $ H = \partial_\mu y^a p_a^\mu - L $，推导协变场方程。
• 在微分形式（0-形式和 (n-1)-形式）上应用泊松括号，识别共轭变量，并将正则对易关系推广至协变形式。
• 通过用时空 Clifford 代数元素取代复数，构建超复量子理论，从而导出协变的超复薛定谔方程。
• 利用 Dirac-Kähler 算子 $ \hat{\not{D}}_\Gamma = d_\Gamma - \delta_\Gamma $，在弯曲时空下推导广义薛定谔方程，波函数为非齐次微分形式。
• 通过 Atiyah-Kähler 代数元素（如 $ \partial_\mu \hskip 2.0pt\text{\textasciibreve{}} $ 和 $ dx^\mu \wedge $）表示算符，而非狄拉克矩阵，实现仅依赖度规的量子化，无需 tetrad（ tetrad 保持不变）。
• 提出引力的广义薛定谔方程：$ i\hbar\kappa\sqrt{|g|}\,\widehat{\not{D}}_\Gamma \Psi = \widehat{H}\Psi $，其中 $ \Psi $ 为 Clifford 代数值的非齐次形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不优先指定时间变量的前提下，构建引力的显式协变化量子化方案？
• RQ2 如何将基于复数的标准薛定谔方程推广为使用 Clifford 代数的时空协变、超复形式？
• RQ3 Dirac-Kähler 方程是否是弯曲时空中一种可行的通用波函数形式化方法，且独立于自旋丛结构？
• RQ4 超复薛定谔方程能否容纳不同自旋的场，包括标量场、旋量场和矢量场？
• RQ5 在量化 DW 形式中，如何解决算符排序的歧义性，同时保持协变性并符合对应原理？

主要发现

• De Donder-Weyl 形式使场论的显式协变哈密顿表述成为可能，避免了将时空分解为类空超曲面的需求。
• 在微分形式（0-形式和 (n-1)-形式）上建立了泊松括号结构，将正则对易关系推广至协变设定。
• 提出了超复薛定谔方程 $ i\hbar \kappa \sqrt{|g|} \widehat{\not{D}}_\Gamma \Psi = \widehat{H} \Psi $ 作为量子引力的候选理论，其中 $ \Psi $ 为 Atiyah-Kähler 代数中的非齐次微分形式。
• 该框架允许直接对度规引力进行量化，无需使用 tetrad 形式，仅依赖时空度规及其联络。
• 建议 Dirac-Kähler 方程是弯曲时空下比 Dirac 方程更基本的替代形式，可避免对自旋结构流形的限制。
• 当波函数 $ \Psi $ 被解释为 Clifford 代数值形式时，可能统一描述不同自旋的场，但其概率解释仍是开放问题。