[论文解读] Momentum maps and classical relativistic fields. Part 1: Covariant Field Theory

Mark J. Gotay, Jerrold E. Marsden+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1997

Cosmology and Gravitation Theories被引用 116

一句话总结

本文利用多辛几何提出经典场论的协变形式化，通过规范对称性的动量图（momentum maps）统一约束与规范变换。在时空协变框架下推导出诺特定理，表明能量-动量图编码了相对论性场论中的守恒律与对称性。

ABSTRACT

This is the first paper of a five part work in which we study the Lagrangian and Hamiltonian structure of classical field theories with constraints. Our goal is to explore some of the connections between initial value constraints and gauge transformations in such theories (either relativistic or not). To do this, in the course of these four papers, we develop and use a number of tools from symplectic and multisymplectic geometry. Of central importance in our analysis is the notion of the ``energy-momentum map'' associated to the gauge group of a given classical field theory. We hope to demonstrate that many different and apparently unrelated facets of field theories can be thereby tied together and understood in an essentially new way. In Part I we develop some of the basic theory of classical fields from a spacetime covariant viewpoint. We begin with a study of the covariant Lagrangian and Hamiltonian formalisms, on jet bundles and multisymplectic manifolds, respectively. Then we discuss symmetries, conservation laws, and Noether's theorem in terms of ``covariant momentum maps.''

研究动机与目标

• 使用喷丛（jet bundles）与多辛流形建立经典场论的时空协变拉格朗日与哈密顿形式化。
• 阐明具有约束的场论中初值约束与规范变换之间的关系。
• 引入能量-动量图作为理解相对论性场论中对称性与守恒律的核心工具。
• 通过几何结构统一场论中看似不同的方面——规范自由度、约束与守恒律。
• 为利用辛几何与多辛几何工具对经典场论进行更深层次的几何理解奠定基础。

提出的方法

• 在喷丛与多辛流形上形式化协变拉格朗日与哈密顿结构。
• 定义规范群在场论相空间上作用的动量图。
• 在多辛设定下应用诺特定理，从时空对称性推导守恒律。
• 利用能量-动量图表征与庞加莱对称性及内部规范对称性相关的守恒量。
• 通过多辛形式的拉回分析约束，并阐明其与规范不变性的关系。
• 在协变时空框架下建立对称性、守恒律与动量图之间的几何对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将动量图形式化扩展至时空协变的经典场论？
• RQ2 在相对论性场论中，初值约束与规范变换之间存在何种几何关系？
• RQ3 在多辛框架下，场论中的守恒律如何从对称性中产生？
• RQ4 能量-动量图在何种意义上统一了场论中对称性与守恒量的描述？
• RQ5 如何系统地利用动量图等几何工具分析规范对称性与约束之间的相互作用？

主要发现

• 规范群的动量图为经典场论中的守恒量提供了统一的几何描述。
• 诺特定理在多辛设定下被重新表述，直接将时空对称性与守恒律联系起来。
• 能量-动量图同时捕捉了庞加莱对称性与内部规范对称性，揭示了它们共同的几何起源。
• 初值形式化中的约束被证明与动量图的核（kernel）本质相关。
• 在喷丛与多辛流形上的协变形式化使得具有规范自由度的场论得以一致处理。
• 该框架表明，守恒律与规范不变性均源于同一基本几何结构——动量图。