[论文解读] From the Deligne-Ihara conjecture to Multiple Modular Values

Francis Brown|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 8

一句话总结

本文建立了德利涅-伊哈拉猜想（关于三倍穿孔直线的基本群上的伽罗瓦作用）与多重模形式值（MMVs）理论之间的深层联系，揭示了模形式与埃斯泰因系列的周期如何作为动机伽罗瓦理论中的扩张出现。文章引入了传递关系，解释了多重黎曼ζ值在MMVs中出现的原因，将它们统一于更广泛的多重L值框架之下。

ABSTRACT

This is the write-up of a talk given in honour of Prof. Ihara's 80th Birthday conference in Kyoto in 2018. After briefly reviewing the work of Ihara on the projective line minus 3 points, I outline the main ideas in the proof of the Deligne-Ihara conjecture and provide an update on recent progress in this area and raise some new questions. The second part of the talk outlines the main features of the corresponding theory in genus one, i.e., on the moduli stack of elliptic curves. It contains many concrete and elementary examples to illustrate the main features of the theory and to make it more widely accessible. In particular, the case of non-abelian cocycles associated to a pair of modular forms of level one is discussed in some detail. It also contains some new conjectures which have not previously appeared in print.

研究动机与目标

• 探讨德利涅-伊哈拉猜想在亏格0情形的含义及其与多重黎曼ζ值的关系。
• 在亏格1情形发展多重模形式值的初步理论，尤其关注模形式与埃斯泰因系列。
• 通过传递关系解释双重埃斯泰因积分中多重黎曼ζ值的意外出现。
• 将多重黎曼ζ值与多重模形式值统一于更广泛的多重L值框架之下。
• 提供数值例子，说明MMVs的结构及其与模形式和周期的关系。

提出的方法

• 在ℤ上的混合塔动机范畴中，利用动机基本群丛，提出德利涅-伊哈拉猜想的动机推广。
• 应用经典实现实现（贝尔蒂、德拉姆、ℓ-进）将动机结构与周期及伽罗瓦作用联系起来。
• 引入埃斯泰因系列与尖点形式之间的多重模形式值的传递关系，解释一种形式的周期如何传递到另一种形式。
• 使用Rankin-Selberg方法与贝林森猜想，分析涉及模形式及其L值的动机扩张。
• 采用非临界与半临界L值的概念，对塔动机扩张中的周期进行分类。
• 推导出显式代数恒等式（例如例8.5），通过有理系数与已知ζ值，关联不同的多重模形式值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在李代数𝔤ˡ中的近似关系（如涉及δˡ₁₂的权12关系）如何与模形式和尖点形式相关？
• RQ2 多重黎曼ζ值在双重埃斯泰因积分中出现的程度如何？其出现的原因是什么？
• RQ3 传递关系是否能完全解释多重黎曼ζ值在埃斯泰因系列的多重模形式值中的出现？
• RQ4 动机伽罗瓦群在统一多重黎曼ζ值与多重模形式值中起什么作用？
• RQ5 尖点形式Δ的周期与权12中的多重模形式值有何关系？是否可在不使用Rankin-Selberg方法的情况下加以解释？

主要发现

• 权12关系[σ³ˡ, σ⁹ˡ] − 3[σ⁵ˡ, σ⁷ˡ] = (691/144)δ¹²ˡ 几乎是一条关系，因为δ¹²ˡ在深度滤子下消失，且与第一个非零尖点形式Δ（权12）相关。
• 猜想2预测，线性组合中MMVs的系数c⁺_{G₄,G₁₀;Δ}等于ζ₃,₇/π¹⁰的有理倍数，将MMVs与多重黎曼ζ值联系起来。
• 显式恒等式(8.3)表明，Λ(Δ, G₄;11,1)、Λ(Δ, G₄;10,2)与Λ(Δ, G₄;6,2)的组合等于Λ(Δ;3)、Λ(G₄,G₁₀;2,5)与Λ(G₄,G₁₀;3,5)的有理组合，展示了传递关系。
• Λ(G₄,G₁₀;3,1)中出现ζ₃,₇被解释为来自Λ(G₄,G₈;1,1)的传递，后者被猜想为一个多重黎曼ζ值。
• 长度为2的多重模形式值产生塔动机扩张的周期，其分类依据为：三个埃斯泰因系列，一个尖点形式与两个埃斯泰因系列，两个尖点形式与一个埃斯泰因系列，或三个尖点形式。
• 与三重Rankin-Selberg扩张相关的周期c_{f,g;h}对应于中心临界L值，涉及三个非标准周期，与例外权一情形下的贝林森猜想一致。