[论文解读] From the Poincaré-Cartan form to a Gerstenhaber algebra of Poisson brackets in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Nov 6, 1995

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过德东德-外尔协变哈密顿框架，将经典力学的泊松括号形式推广至场论。从庞加莱-嘉当形式出发，构造了微分形式上的(n+1)阶多辛形式，由此得到的泊松括号使动力变量的外代数具备高阶格伦斯坦哈伯代数结构——为通过协变哈密顿方法实现场论量子化提供了基础。

ABSTRACT

We review the recent generalization of the basic structures of classical analytical mechanics to field theory within the framework of the De Donder-Weyl (DW) covariant canonical theory. We start from the Poincaré-Cartan form and construct the analogue of the symplectic form -- the polysymplectic form of degree n+1, where n is the dimension of the space-time. The dynamical variables are represented by differential forms and the polysymplectic form leads to the definition of the Poisson brackets on forms. The Poisson brackets equip the exterior algebra of dynamical variables with a structure of a "higher-order" Gerstenhaber algebra. We also briefly outline a possible approach to field quantization which proceeds from the DW Hamiltonian formalism and the Poisson brackets of forms.

研究动机与目标

• 通过协变哈密顿方法，将经典力学的辛形式推广至场论。
• 在场论中，对微分形式定义广义泊松括号结构。
• 从庞加莱-嘉当形式构造(n+1)阶（n为时空维度）多辛形式。
• 证明形式上的泊松括号使动力变量的外代数具备高阶格伦斯坦哈伯代数结构。
• 基于德东德-外尔形式与形式的泊松括号，为协变场论量子化奠定基础。

提出的方法

• 从德东德-外尔理论中的庞加莱-嘉当形式推导出(n+1)阶多辛形式。
• 将动力变量表示为场配置空间喷层上的微分形式。
• 利用多辛形式的逆，定义微分形式之间的泊松括号。
• 证明泊松括号运算满足分次雅可比恒等式，从而形成格伦斯坦哈伯代数结构。
• 通过形式的分次交换子实现格伦斯坦哈伯代数的李超代数性质。
• 通过将泊松括号提升为福克空间表示中的对易子，概述一种潜在的量子化程序。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以显式协变的方式将经典力学的辛结构推广至场论？
• RQ2 当动力变量为微分形式时，场论中泊松括号的适当类比是什么？
• RQ3 能否证明形式上的泊松括号代数结构满足格伦斯坦哈伯代数的公理？
• RQ4 n+1阶多辛形式在定义场论可观测量的动力学与代数结构中起什么作用？
• RQ5 能否基于德东德-外尔哈密顿形式与形式的泊松括号，构建一个一致的量子化方案？

主要发现

• 场论中的庞加莱-嘉当形式导出一个n+1阶多辛形式，其中n为时空维度。
• 通过多辛形式的逆定义在微分形式上的泊松括号在形式空间上封闭。
• 泊松括号运算满足分次雅可比恒等式，证实了动力变量外代数上的格伦斯坦哈伯代数结构。
• 该代数结构与分次交换子一致，并支持高阶李超代数。
• 该框架通过形式的泊松括号为场论量子化提供了协变且几何的基础。
• 该构造以显式协变方式将经典力学的正则形式推广至场论。