[论文解读] Frozen Pipes: Lattice Models for Grothendieck Polynomials

Ben Brubaker, Claire Frechette+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 31被引用 7

一句话总结

本文将双轴双$(\beta,q)$-格罗滕迪克多项式引入为可解晶格模型的配分函数，建立了量子可积系统与代数K-理论之间的联系。通过$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R-矩阵的杨-巴克斯特方程与大衛- twist，作者证明了双$\beta$-格罗滕迪克多项式的新柯西恒等式与分支法则，推广了福明-基利洛夫的结果。

ABSTRACT

We introduce families of two-parameter multivariate polynomials indexed by pairs of partitions $v,w$ -- biaxial double $(β,q)$-Grothendieck polynomials -- which specialize at $q=0$ and $v=1$ to double $β$-Grothendieck polynomials from torus-equivariant connective K-theory. Initially defined recursively via divided difference operators, our main result is that these new polynomials arise as partition functions of solvable lattice models. Moreover, the associated quantum group of the solvable model for polynomials in $n$ pairs of variables is a Drinfeld twist of the $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ $R$-matrix. By leveraging the resulting Yang-Baxter equations of the lattice model, we show that these polynomials simultaneously generalize double $β$-Grothendieck polynomials and dual double $β$-Grothendieck polynomials for arbitrary permutations. We then use properties of the model and Yang-Baxter equations to reprove Fomin-Kirillov's Cauchy identity for $β$-Grothendieck polynomials, generalize it to a new Cauchy identity for biaxial double $β$-Grothendieck polynomials, and prove a new branching rule for double $β$-Grothendieck polynomials.

研究动机与目标

• 构建一个由两对分拆索引的多重变量多项式族，推广双$\beta$-格罗滕迪克多项式。
• 证明这些多项式作为具有量子群结构的可解晶格模型的配分函数而出现。
• 利用晶格模型的杨-巴克斯特方程，推导$K$-理论施伯伯特演算中的新恒等式与结构结果。
• 重新证明并推广福明-基利洛夫柯西恒等式，建立双$\beta$-格罗滕迪克多项式的分支法则。

提出的方法

• 通过差分算子递归定义双轴双$(\beta,q)$-格罗滕迪克多项式。
• 构建一个配分函数等于双轴双多项式的可解晶格模型。
• 将该模型的量子群识别为$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R-矩阵的德拉蒙德-twist。
• 利用杨-巴克斯特方程推导多项式的组合恒等式与结构性质。
• 应用图解演算与晶格模型对称性，证明恒等式与分支法则。
• 利用模型的结构，重新证明并推广福明-基利洛夫柯西恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过可解晶格模型统一双$\beta$-格罗滕迪克多项式及其对偶？
• RQ2 支撑双轴双$\beta$-格罗滕迪克多项式晶格模型可解性的量子群结构是什么？
• RQ3 能否利用晶格模型的杨-巴克斯特方程推导出双轴双$\beta$-格罗滕迪克多项式的柯西恒等式？
• RQ4 双$\beta$-格罗滕迪克多项式的分支法则为何？它如何从晶格模型中浮现？
• RQ5 晶格模型的配分函数如何编码$K$-理论施伯伯特演算的结构常数？

主要发现

• 双轴双$(\beta,q)$-格罗滕迪克多项式被证明是具有德拉蒙德扭变$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_{n+1})$ R-矩阵的可解晶格模型的配分函数。
• 通过晶格模型的杨-巴克斯特方程，证明了双轴双$\beta$-格罗滕迪克多项式的新柯西恒等式。
• 利用晶格模型框架与图解演算，重新证明了福明-基利洛夫柯西恒等式。
• 建立了双$\beta$-格罗滕迪克多项式的分支法则：$\mathcal{G}^{(\beta)}_w(\mathbf{x};\mathbf{y}) = \sum_{v \in I_w} \left(\prod_{i=1}^n d_i\right) \mathcal{G}^{(\beta)}_{v^{-}}(x_2,\ldots,x_n; y_1,\ldots,y_{n-1})$，其中$d_i$取决于$w(i)$与$v(i+1)$的比较。
• 对于格拉斯曼排列，条件$w_{\min} \leq_L v \leq_L w_{\max}$等价于分拆$\lambda_w$与$\lambda_v$的交错条件。