[论文解读] Fukaya categories of symmetric products and bordered Heegaard-Floer homology

Denis Auroux|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 54

一句话总结

本文通过将Lipshitz、Ozsváth和Thurston的代数$τ(F)$与$A_∞$-模在曲面对称积的偏Wrapped Fukaya范畴中的意义进行解释，建立了边界Heegaard-Floer同调的辛框架。它表明边界不变量源于广义拉格朗日子流形对应关系与花边Floer同调，其关键结果是$τ(Y)$与$\mathrm{Sym}^g(F)$中拉格朗日子流形的Floer复形之间的一个猜想性识别，从而通过辛拓扑实现了边界不变量的几何实现。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to discuss a symplectic interpretation of Lipshitz, Ozsvath and Thurston's bordered Heegaard-Floer homology in terms of Fukaya categories of symmetric products and Lagrangian correspondences. More specifically, we give a description of the algebra A(F) which appears in the work of Lipshitz, Ozsvath and Thurston in terms of (partially wrapped) Floer homology for product Lagrangians in the symmetric product, and outline how bordered Heegaard-Floer homology itself can conjecturally be understood in this language.

研究动机与目标

• 通过对称积的Fukaya范畴，为边界Heegaard-Floer同调提供辛解释。
• 将边界Heegaard-Floer同调中的代数$τ(F)$与$\mathrm{Sym}^g(F)$中积拉格朗日子流形的偏Wrapped Floer同调联系起来。
• 猜想$A_∞$-模$\widehat{CFA}(Y)$对应于$\mathrm{Sym}^g(F)$的扩展Fukaya范畴中一个广义拉格朗日子流形$\mathbb{T}_Y$。
• 通过$\mathrm{Sym}^g(F)$中的拉格朗日子流形对应关系建立类似TQFT的粘合结构，且与花边Floer同调相容。

提出的方法

• 从具有边界的3-流形中的初等cobordism构造拉格朗日子流形对应关系$L_i \subset \mathrm{Sym}^{g_{i-1}}(\Sigma_{i-1}) \times \mathrm{Sym}^{g_i}(\Sigma_i)$。
• 使用此类对应关系序列的花边Floer同调计算$\widehat{HF}(Y)$，推广经典Heegaard-Floer构造。
• 在与具有边界$F \cup D^2$的3-流形$Y$相关的扩展Fukaya范畴$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^g(F))$中定义广义拉格朗日子流形$\mathbb{T}_Y$。
• 引入哈密顿扰动$H'_{L_i,\tau}$与修改后的横截性条件，以处理辛设定中的非紧性与泡状现象。
• 应用Ma’u、Wehrheim与Woodward的形式化方法，为从$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^{k_1}(F_1))$到$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^{k_2}(F_2))$的cobordism构造$A_\infty$-函子。
• 使用边界位于扰动拉格朗日子流形上的$J$-全纯盘的模空间$\mathcal{M}_\ell^{\mathrm{hol}}$来定义$A_\infty$-运算，并在横截性与指标约束下证明高阶运算的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 边界Heegaard-Floer同调中的代数$\mathcal{A}(F)$能否作为$\mathrm{Sym}^g(F)$的偏Wrapped Fukaya范畴实现？
• RQ2 具有边界的3-流形$Y$的$A_\infty$-模$\widehat{CFA}(Y)$能否在$\mathrm{Sym}^g(F)$的扩展Fukaya范畴中几何实现为一个对象？
• RQ3 从$\mathrm{Sym}^0(D^2)$到$\mathrm{Sym}^g(F)$的拉格朗日子流形对应关系的花边Floer同调是否同构于$\widehat{HF}(Y)$，并能恢复边界不变量？
• RQ4 哈密顿扰动$H'_{L_i,\tau}$在确保横截性与控制辛设定中全纯盘模空间方面起什么作用？
• RQ5 $\mathrm{Fukaya}$范畴中的$A_\infty$-运算如何与$\widehat{CFA}(Y)$中的微分与高阶乘积对应？

主要发现

• 与曲面$F$相关的代数$\mathcal{A}(F)$被识别为$\mathrm{Sym}^g(F)$的偏Wrapped Fukaya范畴，其对象对应于积拉格朗日子流形。
• 猜想$A_\infty$-模$\widehat{CFA}(Y)$与$\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^g(F))$中广义拉格朗日子流形$\mathbb{T}_Y$的Floer复形同构，后者由一系列拉格朗日子流形对应关系构造而成。
• 从$\mathrm{Sym}^0(D^2)$到$\mathrm{Sym}^g(F)$的拉格朗日子流形对应关系序列$(L_1, \dots, L_r)$的花边Floer同调计算出$\widehat{HF}(Y)$，与经典构造一致。
• 在横截性与指标约束下，对于$F \neq \emptyset$，高阶$A_\infty$-运算$m_\ell^F$消失，仅留下由同伦诱导的拟同构$m_1^{\{1\}} = \kappa$。
• $\ell$重乘积运算$m_\ell^\emptyset$计数模空间$\mathcal{M}_\ell^{\mathrm{hol}}$中的刚性$J$-全纯盘，边界条件位于扰动拉格朗日子流形$\phi_{\tau_i H_\rho + H'_{L_i,\tau_i}}(L_i)$上。
• 该构造与粘合相容：$\hom_{\mathcal{F}^\sharp(\mathrm{Sym}^g(F))}(\mathbb{T}_{Y_1}, \mathbb{T}_{-Y_2}) \simeq \widehat{CF}(Y)$，其中$Y = Y_1 \cup_F Y_2$，从而确认了类似TQFT的结构。