[论文解读] Fukaya category of Landau-Ginzburg model

Huijun Fan, Wenfeng Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2018

Microtubule and mitosis dynamics被引用 3

一句话总结

本文通过在具有正则温和精确全纯莫尔斯函数的非紧凯勒流形上使用威滕方程和开弦弗洛尔理论，构建了朗道-金兹堡模型的弗科伊卡范畴。它将朗道-金兹堡 brane 定义为在拉格朗日子空间格拉斯曼ian的万有阿贝尔覆叠上提升的莱夫谢茨圆柱，并通过扰动威滕映射的模空间建立弗洛尔复形上的 $A_\infty$-结构，证明了在同调镜像对称背景下该猜想的弗科伊卡范畴的存在性。

ABSTRACT

This article introduces and provides the mathematical foundation of the open string Floer theory of Landau-Ginzburg model viaWitten equation. We introduce the concept of regular tame exact Landau-Ginzburg system on a noncompact Kaehler manifold, and define the notion of Landau-Ginzburg branes, as the objects of the Fukaya category. The study on Witten equation in our context provides the construction of the Fukaya category of Landau-Ginzburg model which was conjectured to be existed in Gaiotto-Moore-Witten's work [22] and Kapranov-Kontsevich-Soibelman's work [30]. This is the first paper in the series of studies on Landau-Ginzburg models in the contexts of the mirror symmetry and other topics.

研究动机与目标

• 通过威滕方程为朗道-金兹堡模型的开弦弗洛尔理论提供数学基础。
• 将朗道-金兹堡 brane 定义为在拉格朗日子空间格拉斯曼ian的万有覆叠上提升的结构与针结构的莱夫谢茨圆柱。
• 在 $A_\infty$-范畴中构造朗道-金兹堡模型的弗科伊卡范畴，并引入 $\boldsymbol{G}$-分次，解决同调镜像对称中长期存在的猜想。
• 通过扰动威滕映射的模空间及其一致紧化，建立 $A_\infty$-关系与弗洛尔同调。

提出的方法

• 在具有全纯莫尔斯函数 $W$ 的非紧凯勒流形上引入一个正则温和精确的朗道-金兹堡系统。
• 将莱夫谢茨圆柱构造为 $\operatorname{Re}W$ 的梯度流的稳定流形，构成辛形式 $\omega$ 中的拉格朗日子流形。
• 使用提升映射 $i^\#$ 将每个莱夫谢茨圆柱提升至万有阿贝尔覆叠 $\widetilde{\mathcal{G}}M$，并赋予针结构 $P^\#$，以定义朗道-金兹堡 brane。
• 在 brane 之间定义哈密顿弦 $S_W(L_0, L_1)$，并通过扰动凯勒势确保其有限性（定理 3.12）。
• 在具有条带状端点的带标记边界圆盘上引入扰动威滕方程 $\partial_{\bar{z}}u^j = \sum_{\bar{i}} h^{\bar{i}j} \partial_{\bar{i}} \overline{W} \sigma + \mu^j$。
• 使用德利涅-穆尔福德-斯塔舍夫对带标记边界分量的稳定曲线模空间的一致紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过开弦弗洛尔理论严格定义朗道-金兹堡模型的弗科伊卡范畴？
• RQ2 在朗道-金兹堡模型的背景下，拉格朗日子 brane 的正确几何与拓扑结构是什么？
• RQ3 在此设定下，如何建立弗洛尔复形的 $A_\infty$-关系？
• RQ4 威滕方程及其扰动在构建弗科伊卡范畴中起什么作用？
• RQ5 如何定义并使用 $\boldsymbol{G}$-分次与符号结构于 $A_\infty$-结构中？

主要发现

• 本文构建了朗道-金兹堡模型的弗科伊卡范畴 $\operatorname{Fuk}(M,h,W)$ 为带 $\boldsymbol{G}$-分次的 $A_\infty$-范畴，解决了盖托-莫尔-维滕与卡拉潘诺夫-康采维奇-索伊贝尔曼的猜想。
• 朗道-金兹堡 brane 定义为三元组 $L^\# = (L, i^\#, P^\#)$，其中 $L$ 为莱夫谢茨圆柱，$i^\#$ 为提升映射，$P^\#$ 为拉格朗日子空间格拉斯曼ian的万有覆叠上的针结构。
• 态射空间 $\operatorname{Hom}(L_0^\#, L_1^\#)$ 定义为由 $S_W(L_0, L_1)$ 中的哈密顿弦生成的弗洛尔复形 $CF(L_0^\#, L_1^\#)$。
• 复合映射 $\mu^d$ 通过在模空间 $\mathscr{W}^{d+1}(L,l;K)$ 中计数刚性解来定义，符号由定向与 $\sigma$-同态确定。
• $A_\infty$-关系通过能量控制、$C^0$-估计与正则性验证，确保在 $\boldsymbol{G}$-分次意义下 $\mu \circ \mu = 0$。
• 一阶映射 $\mu^1$ 定义了弗洛尔微分，由此得到的弗洛尔同调 $HF_y(A)$ 同构于 $\operatorname{Ker}(\mu^1|_{A_y}) / \operatorname{Im}(\mu^1|_{A_{y-f(1)}})$。