[论文解读] Full vertex algebra and bootstrap -- consistency of four point functions in 2d CFT

Yuto Moriwaki|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文引入了一种称为全顶点代数（full vertex algebra）的数学框架，作为 $\eta$-加权顶点代数的实解析推广，以形式化二维共形场论（CFT）中四点关联函数的一致性。通过从重整化方程和共形对称性推导出全顶点代数结构，作者证明了重整化条件可确保在任意算符乘积展开下四点函数的一致性，并从弦理论的环面紧化中显式构造出一族可变形的全顶点代数。

ABSTRACT

In physics, it is believed that the consistency of two dimensional conformal field theory follows from the bootstrap equation. In this paper, we introduce the notion of a full vertex algebra by analyzing the bootstrap equation, which is a "real analytic" generalization of a $\mathbb{Z}$-graded vertex algebra. We also give a mathematical formulation of the consistency of four point correlation functions in two dimensional conformal field theory and prove it for a full vertex algebra with additional assumptions on the conformal symmetry. In particular, we show that the bootstrap equation together with the conformal symmetry implies the consistency of four point correlation functions. As an application, a deformable family of full vertex algebras parametrized by the Grassmanian is constructed, which appears in the toroidal compactification of string theory. This give us examples satisfying the above assumptions.

研究动机与目标

• 建立二维共形场论中四点关联函数一致性的数学表述。
• 将全顶点代数定义为顶点代数的实解析推广，直接从重整化方程导出。
• 证明重整化方程结合共形对称性可蕴含在任意算符乘积展开下四点函数的一致性。
• 从弦理论中的环面紧化构造出以格拉斯曼流形为参数的可变形全顶点代数族。

提出的方法

• 引入一个空间 $\mathrm{Cor}_4$，用以表示实解析函数，代表四点关联函数。
• 定义与二叉树及算符乘积展开相关的带括号关联函数 $S_A$，使用形式变量 $x_i = z_i - z_j$。
• 通过基于树的递归方法，为每种括号化方式分配变量和收敛区域，确保在特定区域内的解析性。
• 证明重整化方程——以单值性条件表达——蕴含不同算符排序选择下 $S_A$ 的一致性。
• 通过形变从格拉姆顶点代数构造一族全顶点代数，以格拉斯曼流形为参数，满足所需的对称性和解析性条件。
• 验证猜想：$S_A$ 对应在指定收敛区域内，全局定义的实解析函数 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ 的展开，该猜想对 $n \leq 4$ 及 $n=5$ 时插入真空态的情形已得证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过实解析代数结构，严格地形式化并证明二维CFT中四点关联函数的一致性？
• RQ2 当重整化方程与共形对称性结合时，是否能确保四点函数与算符排序无关？
• RQ3 能否独立于顶点代数定义全顶点代数，使其公理自然导出全纯与反全纯子代数？
• RQ4 全顶点代数框架是否允许构造可变形的CFT族，如来自环面紧化的那些？
• RQ5 对于给定的二叉树 $A$，带括号关联函数 $S_A$ 是否等价于在指定区域内，一个全局定义的实解析函数 $\phi$ 的展开？

主要发现

• 在全顶点代数框架下，重整化方程结合共形对称性，可蕴含在任意算符乘积展开下四点关联函数的一致性。
• 全顶点代数是 $\mathbb{Z}$-加权顶点代数的实解析推广，其公理由自然导出全纯与反全纯子代数。
• 当 $n \leq 4$ 及 $n=5$ 时插入真空态，带括号关联函数 $S_A$ 对应在指定收敛区域内，全局定义的实解析函数 $\phi(z_1,\dots,z_n)$ 的展开。
• 从格拉姆顶点代数出发，构造出一族以格拉斯曼流形为参数的可变形全顶点代数，用于建模来自环面紧化的非理性CFT。
• 变量替换 $x_i = z_i - z_j$ 系统地由树结构导出，收敛区域由层级距离条件 $|x_k| > |x_i|$（对后代节点）决定。
• 对 $n \leq 4$ 及 $n=5$ 时插入真空态的情形，已证明猜想：$S_A$ 是实解析函数 $\phi$ 的展开，提供了关键的一致性检验。