[论文解读] Function contractive maps in partial metric spaces

Mihai Turinici|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2012

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文通过扩展巴拿赫压缩原理，建立了部分度量空间中泛函压缩的不动点定理。证明了在涉及比较函数 φ 和控制函数 ψ 的广义压缩条件下，零完备部分度量空间上的自映射 T 具有唯一不动点，且收敛性在由部分度量诱导的 e-度量拓扑中得到保证。

ABSTRACT

Some fixed point results are given for a class of functional contractions over partial metric spaces. These extend some contributions in the area due to Ilic et al [Math. Comput. Modelling, 55 (2012), 801-809].

研究动机与目标

• 通过泛函压缩将巴拿赫压缩原理推广至部分度量空间。
• 建立在零完备部分度量空间上自映射具有唯一不动点的条件。
• 表明部分度量空间中的不动点结果可通过诱导的 e-度量还原为标准度量论证。
• 通过在压缩条件中引入比较函数 φ 和控制函数 ψ，推广 Ilić 等人的先前结果。
• 证明不动点唯一，且迭代序列在 e-度量拓扑中收敛。

提出的方法

• 定义部分度量空间 (X,d) 及其关联的 e-度量 e(x,y) = 2d(x,y) - d(x,x) - d(y,y)，该度量诱导出一个豪斯多夫拓扑。
• 利用 e-度量分析序列收敛性：xₙ → x（e-收敛）当且仅当 limₙ d(xₙ,x) = limₘ,ₙ d(xₘ,xₙ) = d(x,x)。
• 引入泛函压缩条件：对所有 x,y ∈ X，有 d(Tx,Ty) ≤ max{φ(M(x,y)), b(x,y)}，其中 M(x,y) 综合了距离项，b(x,y) 为对称项。
• 定义控制函数 φ 和 ψ，使得当 t > 0 时 φ(t) < t，且 ψ(t) = t - φ(t) 为非减函数，且 ψ(t) = 0 当且仅当 t = 0。
• 通过迭代构造序列 (zₙ)，令 zₙ₊₁ = Tzₙ，并利用反证法与极限分析证明其为 e-柯西序列。
• 证明序列 (zₙ) 的极限 z 在 e-度量下满足 d(z,Tz) = θ = limₙ d(zₙ,zₙ)，从而表明 z 为不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，部分度量空间上的泛函压缩具有唯一不动点？
• RQ2 能否通过 e-度量将部分度量空间中的不动点结果还原为标准度量论证？
• RQ3 涉及比较函数 φ 和控制函数 ψ 的广义压缩条件如何影响不动点的存在性与唯一性？
• RQ4 部分度量空间的零完备性在保证迭代序列收敛性方面起什么作用？
• RQ5 在所提出的泛函压缩条件下，不动点是否唯一？迭代序列是否在 e-度量中收敛？

主要发现

• 若压缩条件 d(Tx,Ty) ≤ max{φ(M(x,y)), b(x,y)} 成立，且 φ 满足 φ(t) < t（对 t > 0），则自映射 T 在 X 中有唯一不动点。
• 由 zₙ₊₁ = Tzₙ 定义的迭代序列 (zₙ) 为 e-柯西序列，且在 e-度量拓扑下收敛于唯一不动点 z。
• 极限 z 满足 d(z,Tz) = θ = limₙ d(zₙ,zₙ)，这表明在不动点意义下 Tz = z。
• 证明依赖于反证法：假设 d(z,Tz) > θ 将与 φ 和 ψ 的性质产生矛盾。
• 当 φ(t) = αt（α ∈ [0,1)）时，该结果推广了 Ilić 等人的定理，且证明方法与他们原始方法不同。
• e-度量 e(x,y) = 2d(x,y) - d(x,x) - d(y,y) 对于将标准度量不动点技术转移至部分度量设定中至关重要。