[论文解读] Functional law of large numbers and PDEs for epidemic models with infection-age dependent infectivity

Guodong Pang, Étienne Pardoux|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2021

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文为具有感染年龄依赖传染性的非马氏传染病模型建立了功能性大数定律（FLLN），表明极限动力学由确定性伏尔泰拉积分方程控制，且在正则性条件下，由边界条件由伏尔泰拉方程定义的偏微分方程（PDE）控制。其主要贡献是从具有广义传染期分布的个体水平随机过程严格推导出基于PDE的宏观模型。

ABSTRACT

We study epidemic models where the infectivity of each individual is a random function of the infection age (the elapsed time of infection). To describe the epidemic evolution dynamics, we use a stochastic process that tracks the number of individuals at each time that have been infected for less than or equal to a certain amount of time, together with the aggregate infectivity process. We establish the functional law of large numbers (FLLN) for the stochastic processes that describe the epidemic dynamics. The limits are described by a set of deterministic integral equations, which has a further characterization using PDEs under some regularity conditions. The solutions are characterized with boundary conditions that are given by a system of Volterra equations. We also characterize the equilibrium points for the PDEs in the SIS model with infection-age dependent infectivity. To establish the FLLNs, we employ a useful criterion for weak convergence for the two-parameter processes together with useful representations for the relevant processes via Poisson random measures.

研究动机与目标

• 为传染性随感染年龄变化的传染病模型建立严格的数学框架。
• 通过允许传染期的广义分布，将经典SIR/SIS模型扩展至非马氏假设之外。
• 为追踪感染年龄与总体传染性的两参数随机过程建立功能性大数定律（FLLN）。
• 利用伏尔泰拉型积分方程表征极限确定性动力学，并在正则性条件下，通过边界条件由伏尔泰拉方程定义的PDE进行刻画。
• 分析具有感染年龄依赖传染性的SIS模型中的平衡点。

提出的方法

• 将每个个体的传染性建模为感染年龄的右连左极、有界、独立同分布的随机函数，允许存在潜伏期。
• 定义一个两参数随机过程，用于追踪在时间t时感染年龄≤x的感染者数量。
• 使用泊松随机测度来表示个体基于模型中感染的到达与演化过程。
• 通过两参数过程的收敛性准则，建立重标度随机过程的弱收敛性。
• 将极限表征为确定性伏尔泰拉积分方程组的解。
• 在正则性条件下，证明感染者密度满足一个一阶PDE，其边界条件由伏尔泰拉积分方程给出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大种群极限下，如何描述具有感染年龄依赖传染性的传染病模型的动力学？
• RQ2 当种群规模趋于无穷时，追踪感染年龄与总体传染性的随机过程的极限行为是什么？
• RQ3 在何种条件下，极限过程满足偏微分方程（PDE）？
• RQ4 PDE的边界条件如何由感染年龄依赖传染性与恢复过程决定？
• RQ5 具有感染年龄依赖传染性的SIS模型中的平衡解是什么？

主要发现

• 两参数随机过程的功能性大数定律（FLLN）成立，其极限满足确定性伏尔泰拉型积分方程组。
• 在正则性条件下，感染者密度的极限演化由一个一阶PDE控制，其边界条件由伏尔泰拉积分方程定义。
• 总体传染性过程收敛于平均传染性函数关于极限感染年龄分布的积分。
• 对于常数传染性的经典SIR模型，PDE退化为众所周知的Kermack-McKendrick PDE。
• 具有感染年龄依赖传染性的SIS模型的平衡点由从PDE边界条件导出的伏尔泰拉方程组求解得到。
• 极限过程在时间上连续，且随机过程对极限的收敛是局部一致的。