[论文解读] Functorial LCH for immersed Lagrangian cobordisms

Yu Pan, Dan Rutherford|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文通过引入锥状Legendrian余弦化（conical Legendrian cobordisms）的新框架，将Legendrian接触同调（LCH）微分Graded代数（DGA）的函子性扩展至浸入的精确Lagrangian余弦化。通过构造一个从LCH DGA的正端到余弦化关联的新DGA的DGA映射图，以及从余弦化DGA到负端的映射，建立了浸入DGA映射，并证明了其在同伦下的不变性，同时提供了仅能通过具有单个双重点的浸入填充实现的增强示例。

ABSTRACT

For $1$-dimensional Legendrian submanifolds of $1$-jet spaces, we extend the functorality of the Legendrian contact homology DG-algebra (DGA) from embedded exact Lagrangian cobordisms, as in \cite{EHK}, to a class of immersed exact Lagrangian cobordisms by considering their Legendrian lifts as conical Legendrian cobordisms. To a conical Legendrian cobordism $Σ$ from $Λ_-$ to $Λ_+$, we associate an immersed DGA map, which is a diagram $$\alg(Λ_+) \stackrel{f}{ ightarrow} \alg(Σ) \stackrel{i}{\hookleftarrow} \alg(Λ_-), $$ where $f$ is a DGA map and $i$ is an inclusion map. This construction gives a functor between suitably defined categories of Legendrians with immersed Lagrangian cobordisms and DGAs with immersed DGA maps. In an algebraic preliminary, we consider an analog of the mapping cylinder construction in the setting of DG-algebras and establish several of its properties. As an application we give examples of augmentations of Legendrian twist knots that can be induced by an immersed filling with a single double point but cannot be induced by any orientable embedded filling.

研究动机与目标

• 将Legendrian接触同调（LCH）DGA的函子性从嵌入情形扩展至浸入的精确Lagrangian余弦化。
• 为从 $\Lambda_{-}$ 到 $\Lambda_{+}$ 的锥状Legendrian余弦化 $\Sigma$ 定义一个新的DGA，记为 $\mathcal{A}(\Sigma)$，该DGA在锥状Legendrian同伦下不变。
• 构造一个浸入DGA映射 $\mathcal{A}(\Lambda_{+}) \xrightarrow{f} \mathcal{A}(\Sigma) \xleftarrow{i} \mathcal{A}(\Lambda_{-})$，其中 $f$ 为DGA映射，$i$ 为包含映射，推广嵌入情形。
• 建立该构造为从Legendrian与浸入Lagrangian余弦化组成的范畴到带有浸入DGA映射的DGAs范畴的函子。
• 提供关于Legendrian扭结的增强示例，这些增强仅能通过具有单个双重点的浸入填充实现，而无法通过任何定向嵌入填充实现。

提出的方法

• 通过一个辛同胚 $\Phi: \mathrm{Symp}(J^1M) \to T^*(\mathbb{R}_{>0} \times M)$，将浸入的精确Lagrangian余弦化 $L$ 提升为 $J^1(\mathbb{R}_{>0} \times M)$ 中的锥状Legendrian余弦化 $\Sigma$。
• DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$ 定义为 $\mathbb{Z}/2$ 上的自由积 $\mathcal{A}(\Lambda_{-}) * \mathcal{A}(L)$，其微分 $\partial_\Sigma$ 计数在 $\Lambda_{-}$ 的Reeb弦处有穿孔、且在 $L$ 的双重点处有穿孔的刚性全纯圆盘。
• DGA映射 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ 通过计数边界位于 $\mathbb{R} \times \Lambda_{+}$ 上、且在 $L$ 的双重点或 $\Lambda_{-}$ 的Reeb弦处有穿孔的刚性全纯圆盘来定义，并通过Leibniz法则延拓。
• 利用相对SFT和Legendrian接触同调中的紧致性与粘合结果，证明微分与映射在固定度量下关于 $\Sigma$ 的锥状Legendrian同伦是不变的。
• 在一类受限的几乎复结构下，建立了全纯圆盘定义与梯度流树（GFT）定义之间DGA与映射 $f$ 的等价性。
• 证明该构造在 $L$ 为嵌入时与标准DGA映射一致，确认与先前工作的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Legendrian接触同调DGA的函子性能否从嵌入情形扩展至浸入的精确Lagrangian余弦化？
• RQ2 捕捉浸入Lagrangian余弦化所诱导DGA映射的正确代数结构是什么？
• RQ3 如何定义锥状Legendrian余弦化 $\Sigma$ 的DGA，使其在同伦下不变，并在端点处恢复标准DGA？
• RQ4 是否存在可通过具有单个双重点的浸入填充实现，但无法通过任何定向嵌入填充实现的Legendrian纽结的增强？
• RQ5 在浸入情形下，DGA与DGA映射的全纯圆盘定义是否与梯度流树定义一致？

主要发现

• 本文为从 $\Lambda_{-}$ 到 $\Lambda_{+}$ 的锥状Legendrian余弦化 $\Sigma$ 构造了一个良定义的DGA $\mathcal{A}(\Sigma)$，在固定度量下关于锥状Legendrian同伦不变。
• 诱导的DGA映射 $f: \mathcal{A}(\Lambda_{+}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ 与包含映射 $i: \mathcal{A}(\Lambda_{-}) \to \mathcal{A}(\Sigma)$ 构成一个浸入DGA映射图，推广了嵌入情形。
• 该构造定义了一个从Legendrian与浸入Lagrangian余弦化组成的范畴到带有浸入DGA映射的DGAs范畴的反变函子。
• 在一类受限的几乎复结构下，全纯圆盘定义与梯度流树定义的DGA及映射 $f$ 一致。
• 本文提供了Legendrian扭结增强的显式示例，这些增强可通过具有单个双重点的浸入填充实现，但无法通过任何定向嵌入填充实现。
• 当 $L$ 为嵌入时，映射 $f_{\Sigma}$ 与嵌入余弦化所诱导的标准DGA映射一致，确认与先前结果的一致性。