[论文解读] Functors of wrapped Fukaya categories from Lagrangian correspondences

Yuan Gao|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 12

一句话总结

本文通过使用分裂哈密顿量和二次哈密顿量，在产品利乌ville流形的包裹弗勒里-category之间建立了链级等价性，从而构建了缝补弗勒里同调理论的框架。它通过浸入式包裹弗勒里-category从拉格朗日子对应构造了$A_\infty$-函子，证明了维特博限制函子同构于嵌入的完备图所关联的函子，并为包裹弗勒里-category提供了通用的库恩定理公式。

ABSTRACT

We study wrapped Floer theory on product Liouville manifolds and prove that the wrapped Fukaya categories defined with respect to two different kinds of natural Hamiltonians and almost complex structures are equivalent. The implication is we can do quilted version of wrapped Floer theory, based on which we then construct functors between wrapped Fukaya categories of Liouville manifolds from certain classes of Lagrangian correspondences, by enlarging the wrapped Fukaya categories appropriately, allowing exact cylindrical Lagrangian immersions. For applications, we present a general Künneth formula, and also identify the Viterbo restriction functor with the functor associated to the completed graph of embedding of a Liouville sub-domain.

研究动机与目标

• 为解决在产品利乌ville流形上使用分裂哈密顿量与二次哈密顿量时，在链级上定义包裹弗勒里-category的技术模糊性。
• 从拉格朗日子对应构造包裹弗勒里-category之间的$A_\infty$-函子，特别是针对柱面型或产品型对应。
• 将包裹弗勒里-category扩展至包含无阻碍的精确柱面型拉格朗日浸入及其边界共链，从而实现浸入对象的函子性。
• 将维特博限制函子与利乌ville子域嵌入的完备图所关联的函子相识别。
• 为产品流形的包裹弗勒里-category建立通用的库恩定理公式。

提出的方法

• 使用作用滤波论证，构造从分裂型包裹弗勒里-category $\mathcal{W}^s(\mathbb{L})$ 到标准型包裹弗勒里-category $\mathcal{W}(\mathbb{L})$ 的作用限制$A_\infty$-函子$R$。
• 应用缝补包裹弗勒里上同调，定义从$\mathcal{W}(M^{-} \times N)$ 到$(\mathcal{W}(M), \mathcal{W}(N))$-双模范畴的$A_\infty$-函子。
• 引入浸入式包裹弗勒里-category $\mathcal{W}_{\text{im}}(M)$，允许将无阻碍的恰当柱面型拉格朗日浸入及其边界共链作为对象。
• 对第二因子应用Yoneda嵌入，得到与拉格朗日子对应$\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 关联的$A_\infty$-函子$\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$。
• 通过直接极限的延续映射$S_A$与基于能量的滤波，证明上链映射$\Pi_\Gamma$链同伦于延续映射$r^1$，从而证明函子的拟等价性。
• 依赖于几何条件（假设7.10）和边界共链的存在性，以确保浸入范畴上的$A_\infty$-函子结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 以$M \times N$上的分裂哈密顿量定义的包裹弗勒里-category是否与以二次哈密顿量定义的标准包裹弗勒里-category在拟等价性上一致？
• RQ2 能否通过缝补弗勒里同调理论，从拉格朗日子对应构造包裹弗勒里-category之间的$A_\infty$-函子？
• RQ3 在何种条件下，维特博限制函子可被识别为与利乌ville子域嵌入的完备图所关联的函子？
• RQ4 在何种条件下，与拉格朗日子对应$\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 关联的函子$\Phi_{\mathcal{L}}$ 可扩展至浸入式包裹弗勒里-category？
• RQ5 维特博限制函子能否扩展至不完全包含于子域中的拉格朗日子流形？若可，其与函子$\Theta_\Gamma$的关系如何？

主要发现

• 分裂模型$\mathcal{W}^s(M \times N)$ 与标准包裹弗勒里-category $\mathcal{W}(M \times N)$ 拟等价，作用限制函子$R$ 提供了自然的拟等价性。
• 在假设7.10下，从拉格朗日子对应$\mathcal{L} \subset M^{-} \times N$ 构造了$A_\infty$-函子$\Phi_{\mathcal{L}}: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}_{\text{im}}(N)^{\text{l-mod}}$，其取值于缝补包裹弗勒里上链复形$CW^*(L, \mathcal{L}, L')$。
• 在投影$\mathcal{L} \to N$ 为正规且几何假设成立的条件下，维特博限制函子被识别为与嵌入的完备图所关联的函子。
• 建立了包裹弗勒里-category的通用库恩定理公式，表明$\mathcal{W}(M \times N)$ 与$\mathcal{W}(M)$ 和$\mathcal{W}(N)$ 的$A_\infty$-张量积拟等价。
• 通过直接极限的映射$S_A$与能量滤波，证明了上链映射$\Pi_\Gamma$ 链同伦于延续映射$r^1$，从而在链级上证明了函子$\Theta_\Gamma$ 与$r$ 的拟等价性。
• 提出一个猜想：维特博限制函子可通过边界共链$B$ 从$\mathcal{W}(U)$ 延拓为形变$\mathcal{W}(U; B)$，从而得到一个自然的$A_\infty$-函子$r_B: \mathcal{W}(M) \to \mathcal{W}(U; B)$，其在$\mathcal{B}(M)$ 上与原函子一致。