[论文解读] Covariantly functorial Floer theory on Liouville sectors

Sheel Ganatra, John Pardon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 18

一句话总结

本文引入了具有边界的Liouville流形——Liouville扇形，并建立了一个关于包裹弗勒里范畴、辛上同调以及开-闭映射的协变函子框架。其主要贡献在于通过扇形包含下的函子性，实现了Abouzaid生成准则的局部-全局原则。

ABSTRACT

We introduce a class of Liouville manifolds with boundary which we call Liouville sectors. We define the wrapped Fukaya category, symplectic cohomology, and the open-closed map for Liouville sectors, and we show that these invariants are covariantly functorial with respect to inclusions of Liouville sectors. From this foundational setup, a local-to-global principle for Abouzaid's generation criterion follows.

研究动机与目标

• 定义一类具有边界的辛流形的新类别，称为Liouville扇形，其为Liouville区域的推广。
• 为Liouville扇形构造包裹弗勒里范畴、辛上同调以及开-闭映射。
• 在Liouville扇形的包含关系下，确立这些不变量的协变函子性。
• 推导Abouzaid生成准则在辛拓扑中的局部-全局原则。
• 为将Floer理论不变量推广至非紧、带边界的辛流形提供基础框架。

提出的方法

• 将Liouville扇形定义为满足特定几何与动力学条件的具有边界的Liouville流形。
• 通过哈密顿扰动和适配的几乎复结构，定义Liouville扇形的包裹弗勒里范畴。
• 通过在不断增加的哈密顿作用下取Floer上同调群的直接极限，构造辛上同调。
• 从包裹弗勒里范畴的Hochschild上同调到辛上同调，定义开-闭映射。
• 证明上述三项不变量在Liouville扇形包含关系下均具有协变函子性。
• 利用函子性，通过粘合与局部化技术，推导出Abouzaid生成准则的局部-全局原则。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以保持函子性的方式将Floer理论不变量扩展至具有边界的辛流形？
• RQ2 何种条件下，具有边界的Liouville流形可确保其包裹弗勒里范畴与辛上同调是良好定义且函子性的？
• RQ3 在Liouville扇形的背景下，能否定义开-闭映射并证明其函子性？
• RQ4 不变量的函子性如何促成辛生成的局部-全局原则？
• RQ5 Liouville扇形的何种结构性质使其适用于推广Abouzaid的生成准则？

主要发现

• Liouville扇形的包裹弗勒里范畴是良好定义的，并在扇形包含关系下具有协变函子结构。
• Liouville扇形的辛上同调在包含关系下是函子性的，且在包含映射下保持代数结构。
• Liouville扇形的开-闭映射是函子性的，将包裹弗勒里范畴的Hochschild上同调与辛上同调联系起来。
• 所有三项不变量的函子性使得Abouzaid生成准则中可实现局部-全局原则，从而能从局部数据推导出全局生成性。
• 该框架为使用函子不变量系统研究非紧、带边界的辛流形的辛拓扑提供了有效途径。
• 该研究建立了一套基础工具集，可用于将同调镜像对称与生成性结果推广至更广泛的辛流形类别。