[论文解读] Fundamental elements of an affine Weyl group

Sian Nie|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文从群论角度刻画了仿射 Weyl 群中的基本元素，建立了其与直线元素的等价性，并在仿射旗流形中证明了 Newton-Hodge 分解的逆。该研究推广了 Oort 对 $p$-可除群的极小性结果，表明在 PEL 型 Shimura 品面的良好约化情形下，每个 Newton 垂类均包含一个极小的 Ekedahl-Oort 垂类，通过 $P$-基本仿照胞元扩展了 Viehmann 与 Wedhorn 的工作。

ABSTRACT

Fundamental elements are certain special elements of affine Weyl groups introduced by Gortz, Haines, Kottwitz and Reuman. They play an important role in the study of affine Deligne-Lusztig varieties. In this paper, we obtain characterizations of the fundamental elements and their natural generalizations. We also derive an inverse to a version of "Newton-Hodge decomposition" in affine flag varieties. As an application, we obtain a group-theoretic generalization of Oort's results on minimal p-divisible groups, and we show that, in certain good reduction reduction of PEL Shimura datum, each Newton stratum contains a minimal Ekedahl-Oort stratum. This generalizes a result of Viehmann and Wedhorn.

研究动机与目标

• 刻画仿射 Weyl 群及其推广中的基本元素。
• 在仿射旗流形中建立 Newton-Hodge 分解的逆。
• 提供 Oort 对 $p$-可除群极小性结果的群论推广。
• 证明在 PEL 型 Shimura 品面的良好约化情形下，每个 Newton 垂类均包含一个极小的 Ekedahl-Oort 垂类。
• 证明基本元素在 Iwahori-Weyl 群中与 $P$-基本元素和直线元素完全一致。

提出的方法

• 利用 Iwahori-Weyl 群 $\tilde{W} = N_G(T)(\mathbb{L})/T(\mathbb{F}[[\epsilon]])$ 研究 $G(\mathbb{L})$ 中的 $\sigma$-共轭类。
• 引入 $L$-允许元素的概念，并研究 $I_L$-与 $I$-共轭类之间的映射 $\psi_{L,\tilde{w}}^G$。
• 应用 $P$-仿照胞元与 $P$-基本元素的理论来刻画基本元素。
• 通过长度的归纳法与 $\to_{S,\sigma}$-转移关系分析 $\sigma$-共轭与 Newton 共特征。
• 利用直线性条件 $(I\tilde{w}\sigma I)^n = I(\tilde{w}\sigma)^n I$ 来刻画基本元素。
• 依赖于基本、$P$-基本与直线元素之间等价性的证明，该等价性通过 $\sigma$-共轭与 Levi 子群的定理建立。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射 $\psi_{L,\tilde{w}}^G$ 在 $I_L$-与 $I$-共轭类之间为双射的条件是什么？
• RQ2 如何刻画 Iwahori-Weyl 群 $\tilde{W}$ 中的基本元素？
• RQ3 如何实现仿射旗流形中 Newton-Hodge 分解的逆？
• RQ4 在 PEL 型 Shimura 品面的良好约化情形下，Newton 垂类在何种条件下包含一个极小的 Ekedahl-Oort 垂类？
• RQ5 基本元素、$P$-基本元素与直线元素之间的精确关系是什么？

主要发现

• Iwahori-Weyl 群 $\tilde{W}$ 中的基本元素等价于某个半标准抛物子群 $P$ 的 $P$-基本元素，且等价于满足对所有 $n \in \mathbb{N}$ 有 $(I\tilde{w}\sigma I)^n = I(\tilde{w}\sigma)^n I$ 的直线元素。
• 当且仅当 $\tilde{w}$ 是某个 $P = MN$（其中 $M \subset L$）的 $P$-仿照胞元时，映射 $\psi_{L,\tilde{w}}^G$ 是双射，从而提供了 Newton-Hodge 分解的逆。
• 每个 $P$-基本元素均属于唯一的 $I$-$\sigma$-共轭类，确认了其对应 Ekedahl-Oort 垂类的极小性。
• 本文将 Oort 对 $p$-可除群的极小性结果推广至群论设定，表明在 PEL 型 Shimura 品面的良好约化情形下，每个 Newton 垂类均包含一个极小的 Ekedahl-Oort 垂类。
• 对于 $K$-基本元素，$\ell_{\nu_{\tilde{w}}}(\tilde{w}\sigma) = 0$ 当且仅当 $\tilde{w}$ 是 $P_{\nu_{\tilde{w}}}$-基本元素，从而将长度与 Newton 共特征行为联系起来。
• 证明表明，$\tilde{w}$ 是基本元素当且仅当它是 $P_{\nu_{\tilde{w}}}$-仿照胞元，且 $\tilde{w}\sigma$ 可分解为 $x\sigma w$，其中 $\ell_{\nu_x}(x\sigma) = 0$ 且 $w$ 属于抛物子群 $W_{J}$。