[论文解读] Fundamental Limits of Blind Deconvolution Part I: Ambiguity Kernel

Sunav Choudhary, Urbashi Mitra|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2014

Blind Source Separation Techniques参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文通过将模糊核表征为测度论上紧致的、部分参数化的、递归结构化的秩二零空间，确立了盲反卷积的根本极限。它证明了在无约束空间中，几乎所有信号对都不可识别，揭示了一个强烈的负面结果：即使在没有稀疏性约束的情况下，盲反卷积本质上也是病态的，不可识别解构成一个维度为 m+n 的高维集合。

ABSTRACT

Blind deconvolution is an ubiquitous non-linear inverse problem in applications like wireless communications and image processing. This problem is generally ill-posed, and there have been efforts to use sparse models for regularizing blind deconvolution to promote signal identifiability. Part I of this two-part paper characterizes the ambiguity space of blind deconvolution and shows unidentifiability of this inverse problem for almost every pair of unconstrained input signals. The approach involves lifting the deconvolution problem to a rank one matrix recovery problem and analyzing the rank two null space of the resultant linear operator. A measure theoretically tight (parametric and recursive) representation of the key rank two null space is stated and proved. This representation is a novel foundational result for signal and code design strategies promoting identifiability under convolutive observation models. Part II of this paper analyzes the identifiability of sparsity constrained blind deconvolution and establishes surprisingly strong negative results on scaling laws for the sparsity-ambiguity trade-off.

研究动机与目标

• 以数学上严格且测度论上紧致的方式表征盲反卷积的模糊空间。
• 证明在无约束空间中，对于几乎所有信号对，盲反卷积都是不可识别的，即使没有稀疏性约束。
• 为在双线性卷积观测模型下设计可识别信号和码本提供基础框架。
• 确立标准稀疏性约束不足以克服盲反卷积中固有的不可识别性。
• 通过随机预编码或非标准稀疏性设计，推动系统重构以实现可识别性。

提出的方法

• 通过双线性算子变换，将盲反卷积问题提升为一个秩一矩阵恢复问题。
• 在提升域中分析线性卷积映射的秩二零空间，以表征模糊性。
• 提出一种新颖的、部分参数化且具有递归结构的零空间表示，该表示在测度论上是紧致的。
• 利用构造性数值例子，说明双线性函数中产生的旋转型模糊性，这些模糊性导致不可识别的信号对。
• 应用勒贝格测度理论，表明不可识别对在信号空间 ℝ^m × ℝ^n 中构成维度为 m+n 的集合。
• 依赖线性卷积的代数简洁性，实现了零空间的显式参数化，这与一般双线性问题不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 盲反卷积中的模糊核的精确结构是什么？其维度大小如何？
• RQ2 当不施加任何约束时，盲反卷积是否能对几乎所有信号对实现唯一识别？
• RQ3 为何标准稀疏性先验即使在标准稀疏性模型下也无法确保盲反卷积的可识别性？
• RQ4 该不可识别性结果在实数域上是否稳健？是否在不依赖代数闭包假设的情况下依然成立？
• RQ5 能否以一种可完全表征模糊核的方式，实现非随机化码本设计以确保可识别性？

主要发现

• 盲反卷积的模糊核包含一个维度为 m+n 的集合，该集合在勒贝格测度下几乎处处不可识别。
• 不可识别性并非模型阶数或稀疏性的产物，而是线性卷积算子本身固有的特性，即使当 m,n ≥ 5 时亦然。
• 构造性例子表明，两组线性无关的信号对可产生完全相同的卷积结果，从而证明了非唯一性。
• 本文建立了卷积算子秩二零空间的参数化与递归表示，这是一种新颖的分析工具。
• 该不可识别性结果强于以往工作：它几乎处处成立，而非仅在一般情况或受限假设下成立。
• 证明了模糊核的维度恰好为 m+n，表明该问题在高维信号空间中本质上是病态的。