[论文解读] RIP-like Properties in Subsampled Blind Deconvolution

Kiryung Lee, Marius Junge|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 12被引用 16

一句话总结

该论文通过引入并分析针对非凸谱平坦性先验的类似RIP的性质，为子采样盲去卷积建立了近最优的性能保证。证明了在独立同分布的随机字典下，稀疏信号的稳定恢复可在样本复杂度 $ m = O((\mu_1 s_2 + \mu_2 s_1)\log^5 n) $ 下实现，从而在接近最优的采样率下通过一种实用算法实现可证明的恢复。

ABSTRACT

We derive near optimal performance guarantees for subsampled blind deconvolution. Blind deconvolution is an ill-posed bilinear inverse problem and additional subsampling makes the problem even more challenging. Sparsity and spectral flatness priors on unknown signals are introduced to overcome these difficulties. While being crucial for deriving desired near optimal performance guarantees, unlike the sparsity prior with a nice union-of-subspaces structure, the spectral flatness prior corresponds to a nonconvex cone structure, which is not preserved by elementary set operations. This prohibits the operator arising in subsampled blind deconvolution from satisfying the standard restricted isometry property (RIP) at near optimal sample complexity, which motivated us to study other RIP-like properties. Combined with the performance guarantees derived using these RIP-like properties in a companion paper, we show that subsampled blind deconvolution is provably solved at near optimal sample complexity by a practical algorithm.

研究动机与目标

• 为解决子采样盲去卷积中的稳定恢复问题，其中由于非凸谱平坦性先验的存在，标准的限制等距性性质（RIP）失效。
• 推导出能够捕捉盲去卷积中测量算子在谱平坦性和稀疏性约束下的结构的类似RIP的性质。
• 为一种实用重建算法在接近最优的样本复杂度下建立可证明的性能保证。
• 证明独立同分布的随机字典，其复高斯i.i.d.条目，以高概率满足这些类似RIP的性质。

提出的方法

• 将盲去卷积问题转化为从线性测量中恢复低秩矩阵的提升形式。
• 定义一类新的类似RIP的性质——具体而言，即 $({\mathcal{S}}, {\mathcal{S}}', \delta)$-受限角度保持性质（RAP），以处理谱平坦性引起的非凸锥结构。
• 利用高斯测度集中性来控制在具有结构的秩一矩阵集合上双线性形式的偏差。
• 通过分析集合 $\Delta_{\mathrm{R}}$ 和 $\Delta_{\mathrm{L}}$ 的Frobenius范数、谱范数以及熵网复杂度，来控制测量算子的集中性。
• 证明对于具有 $ CN(0,1/n) $ 条目的独立同分布随机字典，所需类似RIP的性质在接近最优的样本复杂度下以高概率成立。
• 利用相关结果表明，一种实用算法在这些推导出的性质下可实现稳定恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于标准RIP的恢复保证应用于具有谱平坦性先验的子采样盲去卷积？
• RQ2 在谱平坦性先验导致非凸锥结构时，确保稳定恢复所必需且充分的类似RIP的性质是什么？
• RQ3 在何种样本复杂度下，可以保证对具有稀疏性和谱平坦性的盲去卷积实现稳定恢复？
• RQ4 i.i.d. 随机字典如何影响此设置下测量算子的类似RIP性质？
• RQ5 在这些条件下，一种实用算法能否实现盲去卷积的近最优样本复杂度？

主要发现

• 在接近最优的样本复杂度下，子采样盲去卷积中的测量算子由于非凸谱平坦性先验的存在，无法满足标准的限制等距性性质（RIP）。
• 本文引入并建立了 $({\mathcal{S}}, {\mathcal{S}}', \delta)$-RAP 作为可行的类似RIP的替代方案，能够捕捉稳定恢复所需的必要结构。
• 以高概率，具有 $ CN(0,1/n) $ 条目的独立同分布随机字典可确保在样本复杂度 $ m = O((\mu_1 s_2 + \mu_2 s_1)\log^5 n) $ 下满足所需类似RIP的性质。
• 该样本复杂度为近最优，并可实现通过实用算法对稀疏信号的可证明稳定恢复。
• 尽管谱平坦性先验是非凸的，但其对实现近最优性能至关重要，并且促成了新类似RIP性质的推导。
• 结果可推广至次高斯和部分傅里叶感知矩阵，表明其在i.i.d.情形之外也具有更广泛的应用潜力。