[论文解读] Fundamentals of submersions and immersions between infinite-dimensional manifolds

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文为基于局部凸空间的无穷维流形之间的浸入与浸渍建立了基础理论，提出了 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍的严格定义，该定义推广了经典概念。证明了当目标为巴拿赫空间或有限维时，该定义与朴素浸渍条件（微分满射且核为可补子空间）一致，并发展了关键工具如常秩定理、纤维积以及齐次空间 $G/H$ 上的流形结构，从而为无穷维李群胚与李理论的应用提供了支持。

ABSTRACT

We define submersions f between manifolds M and N modelled on locally convex spaces. If the range N is finite-dimensional or a Banach manifold, then these coincide with the naive notion of a submersion. We study pre-images of submanifolds under submersions and pre-images under mappings whose differentials have dense image. An infinite-dimensional version of the constant rank theorem is provided. We also construct manifold structures on homogeneous spaces G/H of infinite-dimensional Lie groups. Some fundamentals of immersions between infinite-dimensional manifolds are developed as well.

研究动机与目标

• 在基于局部凸空间的无穷维流形背景下，定义并严格刻画浸入与浸渍。
• 通过澄清朴素浸渍条件与更强的、几何动机驱动的浸渍定义之间的关系，解决无穷维微分几何中的基础性问题。
• 在适当条件下，建立无穷维李群 $G$ 与闭子群 $H$ 的齐次空间 $G/H$ 上的流形结构。
• 在该设定下，证明经典定理（如常秩定理与反函数定理）的无穷维类比。
• 提供工具（如纤维积与局部截面），以构建和分析无穷维几何中的流形与映射。

提出的方法

• 通过局部模型定义 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍，该模型通过具有连续右逆的连续线性投影实现，确保几何一致性。
• 使用共巴拿赫子空间（商为巴拿赫空间的可补子空间）的概念，以确保无穷维情形下微分核的良态性。
• 证明当目标为巴拿赫空间或有限维时，朴素浸渍（微分满射且核为共巴拿赫子空间）与更强的浸渍定义等价。
• 通过识别 $G$ 中与 $S \times H$ 微分同胚的开子集（其中 $S$ 为过单位元的子流形），构造齐次空间 $G/H$ 上的流形结构。
• 通过子浸渍存在局部 $C^r$-截面，将隐函数定理与反函数定理应用于无穷维设定。
• 利用商拓扑与群作用相容性，证明在 $S$ 满足适当条件时，商映射 $q: G \to G/H$ 是 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在基于局部凸空间的无穷维流形之间，$C^r_\mathbb{K}$-映射在几何意义下何时为浸渍？其与朴素条件（微分满射且核为共巴拿赫子空间）之间有何关系？
• RQ2 在何种条件下，无穷维李群 $G$ 的齐次空间 $G/H$ 会继承 $C^r_\mathbb{K}$-流形结构？
• RQ3 常秩定理能否推广至无穷维流形？在何种条件下，浸渍下子流形的原像仍为子流形？
• RQ4 在无穷维流形范畴中，纤维积如何表现？两个浸渍的纤维积在何种条件下仍为流形？
• RQ5 在何种条件下，商映射 $q: G \to G/H$ 为 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍？其与局部截面存在性有何关联？

主要发现

• 当目标流形为巴拿赫空间或有限维时，$C^r_\mathbb{K}$-浸渍等价于朴素浸渍（微分满射且核为共巴拿赫子空间），从而消除了无穷维情形下的歧义。
• 每个 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍都是开映射，并存在局部 $C^r_\mathbb{K}$-截面，确保目标流形的流形结构由浸渍唯一确定。
• 在 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍下，子流形的原像仍是 $C^r_\mathbb{K}$-子流形，推广了经典横截性结果。
• 若存在过单位元的 $C^r_\mathbb{K}$-子流形 $S \subseteq G$，使得 $SH$ 在 $G$ 中开，且乘积映射 $S \times H \to SH$ 是 $C^r_\mathbb{K}$-微分同胚，则无穷维李群 $G$ 与闭子群 $H$ 的齐次空间 $G/H$ 具有 $C^r_\mathbb{K}$-流形结构。
• 商映射 $q: G \to G/H$ 是 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍当且仅当存在这样的局部截面 $S$，从而为 $G/H$ 上的流形结构提供了几何判据。
• 当 $H$ 为闭子群且商映射为 $C^r_\mathbb{K}$-浸渍时，$G/H$ 上的群运算为 $C^r_\mathbb{K}$，因此当 $G$ 为 $C^r_\mathbb{K}$-李群时，$G/H$ 也是 $C^r_\mathbb{K}$-李群。