[论文解读] Regularity properties of infinite-dimensional Lie groups, and semiregularity

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 3被引用 25

一句话总结

本文建立了在局部凸空间上建模的无限维李群的 $C^k$-正则性和 $C^k$-半正则性的充分条件。证明了 $\operatorname{evol}$ 是 $C^m$ 当且仅当 $\operatorname{Evol}$ 是 $C^m$，并利用该结果证明了对于任意抛光紧致的有限维光滑流形 $M$，有 $\operatorname{Diff}(M)$ 是 $C^1$-正则的，且对于紧致实解析流形 $M$，有 $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ 是 $C^1$-正则的。主要贡献在于提出了一种通用的正则性判别准则，该准则基于点分离的光滑同态以及在巴拿赫子空间上的演化连续性。

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

研究动机与目标

• 建立在局部凸空间上建模的无限维李群的 $C^k$-正则性和 $C^k$-半正则性的充分条件。
• 阐明演化映射 $\operatorname{evol}$ 的光滑性与映射 $\operatorname{Evol}$ 之间的关系，证明二者在 $C^m$-正则性下等价。
• 证明对于任意抛光紧致的有限维光滑流形 $M$，有 $\operatorname{Diff}(M)$ 是 $C^1$-正则的，即使 $M$ 不是 $\sigma$-紧致的。
• 建立紧致实解析流形 $M$ 上实解析微分同胚群 $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ 的 $C^1$-正则性。
• 证明在非麦基完备建模空间中，正则性通常不成立，提供经典提升与分类性质失效的反例。

提出的方法

• 通过左不变常微分方程 $\eta'(t) = \eta(t)\cdot\gamma(t)$ 的解的存在性与 $C^{k+1}$-光滑性，引入 $C^k$-半正则性的概念，其中 $\eta(0) = e$。
• 利用弗雷歇型空间上的局部 $C^m$-光滑性论证，建立等价性：$\operatorname{evol}$ 是 $C^m$ 当且仅当 $\operatorname{Evol}$ 是 $C^m$。
• 将该理论应用于李代数为西尔瓦空间（即具有紧包含关系的巴拿赫空间的归纳极限）的李群。
• 利用映射到 $C^0$-正则李群的点分离光滑同态族，推导出 $G$ 的正则性。
• 应用右演化映射与对称性 $\operatorname{Evol}(-\gamma)^{-1}$，将左演化结果推广至右演化。
• 将弱积分存在性条件作为麦基完备性的代理，将其与正则性及演化连续性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于建模在局部凸空间上的李群 $G$，演化映射 $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ 在什么条件下是光滑的？
• RQ2 在非麦基完备空间中，$C^k$-半正则性何时蕴含 $C^k$-正则性？
• RQ3 对于任意抛光紧致的有限维光滑流形 $M$，$\operatorname{Diff}(M)$ 是否是 $C^1$-正则的，即使 $M$ 不是 $\sigma$-紧致的？
• RQ4 能否在紧致实解析流形 $M$ 上建立实解析微分同胚群 $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ 的 $C^1$-正则性？
• RQ5 在非正则李群中，若其建模空间非麦基完备，经典性质（如一维子群的存在性与单连通李群的唯一性分类）是否失效？

主要发现

• 演化映射 $\operatorname{evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to G$ 是 $C^m$ 当且仅当映射 $\operatorname{Evol}: C^k([0,1], \mathfrak{g}) \to C^{k+1}([0,1], G)$ 是 $C^m$，建立了演化正则性与评估映射正则性之间的基本等价性。
• $\operatorname{Diff}(M)$ 是任意抛光紧致的有限维光滑流形 $M$ 上的 $C^1$-正则群，即使 $M$ 不是 $\sigma$-紧致的，扩展了先前的结果。
• $\operatorname{Diff}^\omega(M)$ 是任意紧致实解析流形 $M$ 上的 $C^1$-正则群，通过点分离同态映射到 $C^0$-正则群以及在巴拿赫子空间上的演化连续性得以证明。
• 存在一些 $1$-连通阿贝尔李群，其建模空间非麦基完备，此时标准正则性结论不成立：不存在非平凡的一维子群，且分类失败。
• 若 $G$ 是 $C^0$-半正则的，且存在分离点的光滑同态映射到 $C^0$-正则群，同时 $\mathfrak{g}$ 是序列完备的，则 $\operatorname{evol}$ 在 $0$ 处连续可推出其光滑性。
• 局部凸空间的加法群是正则的，当且仅当它是麦基完备的，且该性质等价于 $C^r$-曲线弱积分的存在性。