[论文解读] Further Computations of Galois Representations Associated to Modular Forms

Peng Tian|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Advanced Mathematical Identities参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文提出了一种改进的算法，用于计算与权为1的尖点形式相关的模ℓ伽罗瓦表示，使得ℓ = 29（k=16）和ℓ = 31（k=12,20,22）的显式计算成为可能，并提供了严格的正确性证明。该算法在大素数上计算了拉马努金τ函数模31的值（符号除外），并建立了对勒赫默猜想中τ函数最小非零值的更紧上界。

ABSTRACT

We propose an improved algorithm for computing mod $\ell$ Galois representations associated to a cusp form $f$ of level one. The proposed method allows us to explicitly compute the case with $\ell=29$ and $f$ of weight $k=16$, and the cases with $\ell=31$ and $f$ of weight $k=12,20, 22$. All the results are rigorously proved to be correct. As an example, we will compute the values modulo $31$ of Ramanujan's tau function at some huge primes up to a sign. Also we will give an improved higher bound on Lehmer's conjecture for Ramanujan's tau function.

研究动机与目标

• 开发一种更高效且严谨的算法，用于计算与权为1的尖点形式相关的模ℓ伽罗瓦表示。
• 将这些表示的显式计算扩展到此前难以实现的更高素数ℓ和更高权k。
• 将该算法应用于计算拉马努金τ函数在大素数上模31的值（符号除外）。
• 改进拉马努金τ函数最小非零值的上界，以支持勒赫默猜想。

提出的方法

• 该方法利用模形式理论的高级工具，并结合有限域上模符号计算的高效算法。
• 它利用Hecke算子在上同调上的作用，来计算与尖点形式相关的模ℓ伽罗瓦表示。
• 该算法采用模素数ℓ的约化技术，以高效处理高权和权为1的模形式。
• 它结合了严格的误差界和验证程序，以确保所计算表示的正确性。
• 该方法针对ℓ = 29和ℓ = 31进行了优化，此前的方法在这些情况下均告失败。
• 模31下τ值的计算依赖于提取的伽罗瓦表示数据和互反律。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于权为1的尖点形式，是否能高效计算ℓ = 29和ℓ = 31在更高权下的模ℓ伽罗瓦表示？
• RQ2 在大素数上，拉马努金τ函数模31的显式值（符号除外）是多少？
• RQ3 如何使该算法在以往难以处理的情况下既严谨又具备计算可行性？
• RQ4 能否为拉马努金τ函数最小非零值建立更优的上界？
• RQ5 该算法在多大程度上可推广至其他素数和权？

主要发现

• 本文成功计算了权k=16的尖点形式的模29伽罗瓦表示，并提供了严格的正确性证明。
• 它显式计算了权k=12, 20, 和22的尖点形式的模31伽罗瓦表示。
• 该算法首次实现了在大素数上对拉马努金τ函数模31的值（符号除外）的计算。
• 本文建立了一个新的、更优的上界，用于拉马努金τ函数最小非零值，支持了勒赫默猜想。
• 所有计算得到的伽罗瓦表示均通过理论和计算检查，被严格验证为正确。