[论文解读] Further $q$-series identities and conjectures relating false theta functions and characters

Chris Jennings-Shaffer, Antun Milas|arXiv (Cornell University)|May 27, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文通过推导伪θ函数、模形式的非全模形式和顶点代数模的特征之间的新关系，扩展了以往关于 $q$-级数恒等式的研究。它引入了具有半整数特征的恒等式，研究了在 $q \mapsto q^{-1}$ 下的逆 $q$-级数，并建立了与主子空间和无限喷射概形的联系，证明了某些情况下的模性质，对其他情况则提出了量子模形式的猜想，特别是在尾部求和和 $k$-重超几何级数的背景下。

ABSTRACT

In this short note, a companion of [20], we discuss several families of $q$-series identities in connection to false and mock theta functions, characters of modules of vertex algebras, and "sum of tails".

研究动机与目标

• 将以往涉及伪θ函数和顶点代数特征的 $q$-级数恒等式扩展至包含半整数特征的情况。
• 研究具有 $k$ 个求和变量和 $r_i \in \{1,2\}$ 的 $q$-超几何级数，重点关注 $k \leq \sum r_i \leq 2k$ 的情形。
• 分析 $q$-超几何项在形式反演 $q \mapsto q^{-1}$ 下的性质，特别是定理 1.1 和 1.2 中的恒等式，评估其模形式或量子模形式的性质。
• 将所得的 $q$-级数与主子空间及幂零顶点代数的无限喷射概形的特征联系起来。
• 探索 $k$-重超几何级数中的组合与模形式结构，特别是当 $r_i = 1$ 时，识别出级数表现为模形式、伪模形式或量子模形式的情形。

提出的方法

• 利用量子多对数函数和法德耶夫-卡沙耶夫五边形恒等式，通过非交换代数关系推导 $q$-级数恒等式。
• 应用贝利引理和已知的 $q$-级数恒等式，包括欧拉恒等式和 $q$-二项式定理，生成新的超几何级数恒等式。
• 采用 $q$-超几何形式 $\sum_{n_1,\dots,n_k \geq 0} \frac{q^{\sum n_i + \sum n_i n_{i+1}}}{(q)_{n_1}^{r_1} \cdots (q)_{n_k}^{r_k}}$，其中 $r_i \in \{1,2\}$，以探索模形式与非模形式行为。
• 分析 $q$-超几何项在 $q \mapsto q^{-1}$ 下的形式反演，以研究量子模形式，通过 $A_{2k-1}^{(1)}$ 主子空间的特征公式，证明定理 1.2 的反演级数具有模性。
• 通过将 $q$-级数与顶点代数结构联系起来，将其识别为 $L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$ 的主子空间 $W_L$ 的特征，并将其与仿射概形的无限喷射概形联系起来。
• 利用单项式基构造和分次特征计算，验证当 $k$-重级数满足 $r_i = 1$ 时，$F(1,\dots,1) = \text{ch}[W_L](q)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统地推导并分类涉及半整数特征的伪θ函数的 $q$-级数恒等式？
• RQ2 从定理 1.1 和 1.2 中得到的恒等式在 $q \mapsto q^{-1}$ 下的逆 $q$-级数具有何种模形式或量子模形式性质？
• RQ3 对于 $r_i = 1$ 的 $k$-重 $q$-超几何级数，为何其生成函数会根据 $k$ 的不同而表现为模形式、伪模形式或量子模形式？
• RQ4 尾部求和型恒等式中的 $q$-级数如何与主子空间和无限喷射概形的特征相关联？
• RQ5 能否将 $C_n^{(1)}$-模中单项式基的组合结构推广，以解释 $r_i = 1$ 时 $q$-级数的结构？

主要发现

• 定理 1.2 的反演 $q$-级数被证明是模形式，因为它与 $A_{2k-1}^{(1)}$ 主子空间的特征一致。
• 对于定理 1.1 的反演级数，提出了模性猜想（猜想 5.2），并在立方项内得到验证（命题 5.3），表明其与 $L_{sp(2k)}(\Lambda_0)$ 的第一水平特征相关。
• 当 $k=3$ 和 $k=8$ 时，$r_i = 1$ 的 $q$-级数本质上是模形式；而当 $k=5$ 和 $k=7$ 时，它们表现为量子模形式。
• $k$ 个变量且 $r_i = 1$ 的 $q$-级数 $F(1,\dots,1)$ 等于主子空间 $W_L$ 的特征，建立了与顶点代数表示理论的直接联系。
• 对于 $X = \text{Spec}(\mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]/(x_1x_2,\dots,x_{k-1}x_k))$ 的弧空间 $J_\infty X$ 的希尔伯特级数与 $\text{ch}[W_L](q)$ 一致，证实了 $W_L$ 与 $J_\infty R$ 作为分次交换顶点代数同构。
• 当 $k=3$ 且具有循环二次型 $n_1n_2 + n_2n_3 + n_3n_1$ 时，$q$-级数等于 $\frac{1}{(q)_\infty} \sum_{n \geq 0} \frac{q^n}{(q^{n+1})_{n+1}}$，这是与拉马努金五阶模形式函数相关的已知恒等式。