[论文解读] Some remarks on associated varieties of vertex operator superalgebras

Hao Li|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文将喷射代数及其相关簇的理论从顶点代数推广至顶点超代数，证明了对于若干类顶点超代数——包括仿射 $C_\ell^{(1)}$-系列、$N=1$ 超共形代数、Feigin-Stoyanovsky 主子空间以及图顶点代数——映射 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ 是同构；同时，针对中心荷为 1 的 $N=2$ 超共形代数，构造了一个反例，表明 $\psi$ 不是同构。

ABSTRACT

We study several families of vertex operator superalgebras from a jet (super)scheme point of view. We provide new examples of vertex algebras which are "chiralizations" of their Zhu's Poisson algebras $R_V$. Our examples come from affine $C_\ell^{(1)}$-series vertex algebras ($\ell \geq 1$), certain $N=1$ superconformal vertex algebras, Feigin-Stoyanovsky principal subspaces, Feigin-Stoyanovsky type subspaces, graph vertex algebras $W_Γ$, and extended Virasoro vertex algebra. We also give a counterexample to the chiralization property for the $N=2$ superconformal vertex algebra of central charge $1$.

研究动机与目标

• 将顶点代数的关联簇与喷射代数理论推广至顶点超代数。
• 研究超代数设定下从 $J_\infty(R_V)$ 到 $\operatorname{gr}^F(V)$ 的满射 $\psi$，特别是其是否为同构。
• 提供新的示例，其中 $\psi$ 为同构，并通过喷射概形将特征公式与希尔伯特级数联系起来。
• 在中心荷为 1 的 $N=2$ 超共形顶点代数中，构造 chiralization 性质（即 $\psi$ 为同构）的反例。
• 对 $N=2$ 情况下的 $\psi$ 的核结构提出猜想，并展望未来在 $D_n$、$E_n$ 格点及主子空间方面的研究方向。

提出的方法

• 将 Arakawa 的滤子 $\{F_p(V)\}$ 适配至顶点超代数，以定义关联的分次顶点 Poisson 超代数 $\operatorname{gr}^F(V)$。
• 定义 Zhu 的 $C_2$-代数 $R_V = V/F_1(V)$，其谱 $X_V = \operatorname{Specm}(R_V)$ 为关联簇。
• 构造无限喷射代数 $J_\infty(R_V)$ 及其典范满射 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$。
• 利用 $q$-级数恒等式与 Gordon-Andrews 特征公式，比较 $J_\infty(R_V)$ 与 $\operatorname{gr}^F(V)$ 的希尔伯特级数。
• 通过组合基与喷射代数约束，分析仿射与格点顶点超代数的主子空间。
• 应用关于 parafermionic 特征与带关系多项式环（如 $\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2,y^2\rangle$）的喷射代数的已知结果，以验证 $\psi$ 的同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些顶点超代数族，映射 $\psi: J_\infty(R_V) \twoheadrightarrow \operatorname{gr}^F(V)$ 是同构？
• RQ2 在中心荷为 1 时，$N=2$ 超共形顶点代数是否满足 chiralization 性质（即 $\psi$ 为同构）？
• RQ3 能否对图顶点代数 $W_\Gamma$ 的 $J_\infty(R_V)$ 的希尔伯特级数进行组合计算？
• RQ4 当 $\psi$ 不是同构时（如在 $N=2$ 情况下），$\psi$ 的核结构如何？
• RQ5 Feigin-Stoyanovsky 主子空间在 $D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型格点上，$\psi$ 是否仍为同构？

主要发现

• 对于类型为 $C_\ell^{(1)}$（$\ell \geq 1$）的仿射顶点超代数，映射 $\psi$ 是同构，证实了这些代数的 chiralization 性质。
• 对于与 $(2,4k)$-极小模型相关的 $N=1$ 超共形顶点超代数，$\psi$ 是同构，且 $J_\infty(R_V)$ 的希尔伯特级数与 $V$ 的特征函数一致。
• 喷射代数 $J_\infty(\mathbb{C}[x,y]/\langle x^2, y^2 \rangle)$ 同构于 $V = L_{\text{Vir}}(c_{2,5},0) \otimes L_{\text{Vir}}(c_{2,5},0)$ 的 $\operatorname{gr}(V)$，其希尔伯特级数为 $\sum_{n_1,n_2 \geq 0} \frac{q^{n_1^2 + n_2^2 + n_1 + n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_2}}$。
• 对于 $V = L_{\text{Vir}}(c_{3,10},0) \oplus L_{\text{Vir}}(c_{3,10},2)$，其 $C_2$-代数为 $\mathbb{C}[u,v]/\langle uv, u^2 + v^2, u^3, v^3 \rangle$，且 $J_\infty(R_V)$ 的希尔伯特级数与特征 $\sum_{n_1,n_2,m_1 \geq 0} \frac{q^{(n_1+n_2+m_1)(n_1+n_2)+n_2(n_2+m_1)+m_1^2 + m_1 + n_1 + 2n_2}}{(q)_{n_1}(q)_{n_2}(q)_{m_1}}$ 一致。
• 在中心荷为 1 的简单 $N=2$ 超共形顶点超代数中，映射 $\psi$ 不是同构，从而提供了 chiralization 性质的反例。
• 本文猜想，在 $N=2$ 情况下，$\psi$ 的核由喷射代数中对应于关系 $u^2, v^3, uv$ 的元素生成，并推测 $\psi$ 对 $D_n$、$E_6$、$E_7$、$E_8$ 型主子空间仍为同构。