[论文解读] Further results on the structure of (co)ends in finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文通过引入作用函子 ρ: C → Rex(M) 的右伴随函子 ρ^ra，建立了一个分析有限张量范畴中（共）端的一般框架，表明该伴随函子由涉及内部 Hom 函子的端给出。关键贡献在于，Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) 同构于 M 的 Hochschild 上同调，从而在模张量范畴中，使 SL₂(ℤ) 的模群在该上同调上作用为投影表示。

ABSTRACT

Let $\mathcal{C}$ be a finite tensor category, and let $\mathcal{M}$ be an exact left $\mathcal{C}$-module category. The action of $\mathcal{C}$ on $\mathcal{M}$ induces a functor $ρ: \mathcal{C} o \mathrm{Rex}(\mathcal{M})$, where $\mathrm{Rex}(\mathcal{M})$ is the category of $k$-linear right exact endofunctors on $\mathcal{M}$. Our key observation is that $ρ$ has a right adjoint $ρ^{\mathrm{ra}}$ given by the end $ρ^{\mathrm{ra}}(F) = \int_{M \in \mathcal{M}} \underline{\mathrm{Hom}}(M, M)$. As an application, we establish the following results: (1) We give a description of the composition of the induction functor $\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^* o \mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*)$ and Schauenburg's equivalence $\mathcal{Z}(\mathcal{C}_{\mathcal{M}}^*) \approx \mathcal{Z}(\mathcal{C})$. (2) We introduce the space $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ of `class functions' of $\mathcal{M}$ and initiate the character theory for pivotal module categories. (3) We introduce a filtration for $\mathrm{CF}(\mathcal{M})$ and discuss its relation with some ring-theoretic notions, such as the Reynolds ideal and its generalizations. (4) We show that $\mathrm{Ext}_{\mathcal{C}}^{\bullet}(1, ρ^{\mathrm{ra}}(\mathrm{id}_{\mathcal{M}}))$ is isomorphic to the Hochschild cohomology of $\mathcal{M}$. As an application, we show that the modular group acts projectively on the Hochschild cohomology of a modular tensor category.

研究动机与目标

• 通过范畴伴随关系，发展一个分析有限张量范畴中（共）端的一般框架。
• 以右伴随 ρ^ra 描述诱导函子与 Schauenburg 同构在对偶范畴中心的复合结构。
• 通过类函数空间 CF(M) 启动对典范模范畴的特征理论。
• 将 CF(M) 的滤过结构与环论概念（如 Reynolds 理想）联系起来。
• 建立 Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) 与 M 的 Hochschild 上同调之间的同构，并由此导出 SL₂(ℤ) 在该上同调上的投影作用。

提出的方法

• 为有限张量范畴 C 与精确左 C-模范畴 M 定义作用函子 ρ: C → Rex(M)。
• 证明 ρ 具有右伴随 ρ^ra，其显式表达为 ρ^ra(F) = ∫_{M∈M} Hom(M, F(M))，其中 F ∈ Rex(M)。
• 证明当 M 为不可约且精确时，ρ^ra 是 k-线性、忠实且精确的函子。
• 利用端的普遍双自然变换，为 ρ^ra 赋予张量结构与双模结构。
• 利用 ρ^ra 的结构，提升范畴构造，并将其与已知不变量（如端 A 与余端 L）联系起来。
• 应用该框架，推导出 Ext-群与 Hochschild 上同调之间的同构，并分析模群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用范畴论的端来显式描述作用函子 ρ: C → Rex(M) 的右伴随？
• RQ2 ρ^ra 在描述诱导函子 C^*_M → Z(C^*_M) 与 Schauenburg 同构 Z(C^*_M) ≈ Z(C) 的复合结构中起什么作用？
• RQ3 在典范模范畴中，类函数空间 CF(M) 与单对象的特征有何关系？
• RQ4 CF(M) 上的滤过结构有何意义？它与 Ext^1(M,M) 和 Reynolds 理想有何关联？
• RQ5 Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) 与 M 的 Hochschild 上同调之间的同构，如何导致 SL₂(ℤ) 在该上同调上作用为投影表示？

主要发现

• 右伴随函子 ρ^ra(F) 显式地由端 ∫_{M∈M} Hom(M, F(M)) 给出，为该关键函子提供了具体表达式。
• 诱导函子 C^*_M → Z(C^*_M) 与 Schauenburg 同构 Z(C^*_M) ≈ Z(C) 的复合结构，通过 ρ^ra 得到了显式描述。
• 引入了类函数空间 CF(M)；当 M 为典范时，CF_1(M) 由单对象的特征张量生成，而 CF_2(M) 嵌入一个涉及 Ext^1(L,L)（L 为单对象）的正合序列。
• CF(M) 上的滤过结构被证明与 Reynolds 理想及其推广相关，尤其在典范情形下。
• Ext^•_C(1, ρ^ra(id_M)) 同构于 M 的 Hochschild 上同调，且该同构意味着在模张量范畴中，SL₂(ℤ) 在该上同调上作用为投影表示。