[论文解读] Non-degeneracy conditions for braided finite tensor categories

Kenichi Shimizu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 14

一句话总结

本文建立了对辫状有限张量范畴中非退化性的等价刻画，证明了通过共端 $ \mathbb{F} $ 上的霍普夫配对的非退化性所定义的非退化性，等价于艾廷科夫-尼克什奇-奥斯持里克意义上的可分解性、通过同态映射的弱可分解性，以及米格尔中心的平凡性。此外，本文进一步表明，若基范畴是非退化的，则该范畴中霍普夫代数上的叶特-德林费尔德模范畴也是非退化的。

ABSTRACT

For a braided finite tensor category $\mathcal{C}$ with unit object $1 \in \mathcal{C}$, Lyubashenko considered a certain Hopf algebra $\mathbb{F} \in \mathcal{C}$ endowed with a Hopf pairing $ω: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} o 1$ to define the notion of a `non-semisimple' modular tensor category. We say that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if the Hopf pairing $ω$ is non-degenerate. In this paper, we show that $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if it is factorizable in the sense of Etingof, Nikshych and Ostrik, if and only if its Müger center is trivial, if and only if the linear map $Ω: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(1, \mathbb{F}) o \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, 1)$ induced by the pairing $ω$ is invertible. As an application, we prove that the category of Yetter-Drinfeld modules over a Hopf algebra in $\mathcal{C}$ is non-degenerate if and only if $\mathcal{C}$ is.

研究动机与目标

• 为解决在非半单辫状有限张量范畴中验证非退化性时的困难，其中共端及其霍普夫配对难以计算。
• 将半单情形下模张量范畴的刻画推广至非半单情形。
• 建立更易于验证的非退化性等价条件。
• 证明在非退化范畴中，霍普夫代数上的叶特-德林费尔德模范畴本身也是非退化的。
• 提供一种新的构造方法，生成不源于戴维林双代数的可分解霍普夫代数。

提出的方法

• 在辫状有限张量范畴 $ \mathcal{C} $ 中定义共端 $ \mathbb{F} = \int^{X \in \mathcal{C}} X \otimes X^* $，其自然地携带一个霍普夫代数结构。
• 利用 $ \mathcal{C} $ 的辫子结构构造霍普夫配对 $ \omega_{\mathcal{C}}: \mathbb{F} \otimes \mathbb{F} \to \mathbf{1} $，并将非退化性定义为该配对的非退化性。
• 引入由 $ \omega_{\mathcal{C}} $ 导出的映射 $ \Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1}) $，并定义弱可分解性为 $ \Omega_{\mathcal{C}} $ 的可逆性。
• 利用艾廷科夫-尼克什奇-奥斯持里克函子 $ G: \mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C} \to \mathcal{Z}(\mathcal{C}) $，将可分解性定义为 $ G $ 的本质满射性和全忠实性。
• 将米格尔中心 $ \mathcal{C}' $ 定义为所有满足对所有 $ Y \in \mathcal{C} $ 有 $ \sigma_{Y,X} \circ \sigma_{X,Y} = \mathrm{id}_{X \otimes Y} $ 的对象 $ X $ 的全子范畴，并定义其平凡性为 $ \mathcal{C}' $ 与有限直和 $ \mathbf{1} $ 的范畴等价。
• 通过范畴论论证及霍普夫单子和弗罗贝尼乌斯-佩龙维数的性质，证明四个条件的等价性：非退化性、可分解性、弱可分解性与平凡米格尔中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 在辫状有限张量范畴中，是否存在比共端配对更易于计算的非退化性等价条件？
• RQ2 非退化性与艾廷科夫-尼克什奇-奥斯持里克意义上的范畴可分解性有何关系？
• RQ3 当且仅当范畴是非退化性时，米格尔中心是否平凡？
• RQ4 若辫状有限张量范畴 $ \mathcal{C} $ 是非退化的，是否意味着其上霍普夫代数的叶特-德林费尔德模范畴也是非退化的？
• RQ5 该框架能否产生不源于戴维林双代数构造的新可分解霍普夫代数例子？

主要发现

• 辫状有限张量范畴 $ \mathcal{C} $ 的非退化性——由共端 $ \mathbb{F} $ 上的霍普夫配对 $ \omega_{\mathcal{C}} $ 的非退化性所定义——等价于艾廷科夫、尼克什奇与奥斯持里克意义上的可分解性。
• 范畴 $ \mathcal{C} $ 的非退化性等价于由 $ \omega_{\mathcal{C}} $ 导出的映射 $ \Omega_{\mathcal{C}}: \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbf{1}, \mathbb{F}) \to \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(\mathbb{F}, \mathbf{1}) $ 的可逆性，这推广了半单情形下 $ S $-矩阵的可逆性。
• 米格尔中心 $ \mathcal{C}' $ 是平凡的，当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是非退化的，从而提供了非退化性的范畴论刻画。
• 在 $ \mathcal{C} $ 中的霍普夫代数 $ B $ 上的叶特-德林费尔德模范畴 $ \mathcal{YD}(\mathcal{C})^{B}_{B} $ 是非退化的，当且仅当 $ \mathcal{C} $ 是非退化的。
• 该结果可构造出新的可分解霍普夫代数，例如小量子群 $ u_q(\mathfrak{g}) $，其未必同构于戴维林双代数。
• 通过在因子化霍普夫代数 $ H $ 的表示范畴 $ \operatorname{Rep}(H) $ 中对霍普夫代数进行双 Bose-化构造，可得到一个因子化霍普夫代数 $ U $，满足 $ \dim U = \dim B^* \otimes \dim H \otimes \dim B $，其维度未必为完全平方数，因此不源于戴维林双代数构造。