[论文解读] Further Studies on the Sparing Number of Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2014

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了图的并集与环和运算中弱整数加法集合索引器（弱 IASIs）的容许性，确定了此类标记存在的条件，并推导出结果图的稀疏数——即单索引边的最小数量——的公式。主要成果包括对两个环的环和的稀疏数的完整表征，以及弱 IASI 图与其子图在环和运算下稀疏数公式的推广。

ABSTRACT

Let $\mathbb{N}_0$ denote the set of all non-negative integers and $\mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ be its power set. An integer additive set-indexer is an injective function $f:V(G) o \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ such that the induced function $f^+:E(G) o \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sum set of $f(u)$ and $f(v)$. If $f^+(uv)=k~\forall~uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexer. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|f^+(uv)|=\max(|f(u)|,|f(v)|)~\forall ~ uv\in E(G)$. In this paper, we study the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and graph operations.

研究动机与目标

• 确定两个弱 IASI 图的并集在何种条件下容许弱 IASI。
• 表征两个图的环和的稀疏数，特别是环图的情形。
• 将弱 IASI 图与其子图在环和运算下的稀疏数公式进行推广。
• 识别复杂图运算中弱 IASI 容许性的开放问题。
• 探索保持弱 IASI 性质的顶点与边集标签的结构约束。

提出的方法

• 利用弱 IASI 的定义，要求每条边的集合索引数等于其端点集合索引数的最大值。
• 应用弱 IASI 图的已知结果，包括每条边的至少一个端点必须具有单元素集标签的必要性。
• 分析环和运算 $ G \oplus H $，即边集的对称差，以研究图并集中的结构变化。
• 基于环长度的奇偶性（奇数/偶数）和公共边数进行案例分析，以对结果图进行分类。
• 使用公式 $ \varphi(G \oplus H) = \varphi(G) - \varphi(H) $ 推导 $ G \oplus H $ 的稀疏数，该公式在 $ H $ 是 $ G $ 的子图时成立。
• 利用关于环图稀疏数的定理：$ \varphi(C_n) = 0 $ 当 $ n $ 为偶数，$ \varphi(C_n) = 1 $ 当 $ n $ 为奇数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个弱 IASI 图的并集容许弱 IASI？
• RQ2 两个环图的环和的稀疏数是多少，其如何依赖于它们的奇偶性与公共边数？
• RQ3 弱 IASI 图与其子图在环和运算下的稀疏数能否表示为它们各自稀疏数的函数？
• RQ4 两个正则图的并集容许弱 IASI 的必要与充分条件是什么？
• RQ5 当一个图是完全图时，稀疏数在环和运算下如何变化？

主要发现

• 两个环 $ C_m $ 与 $ C_n $ 的环和 $ C_m \oplus C_n $ 是一个环，当且仅当这两个环共享一个公共路径段。
• 若 $ C_m $ 与 $ C_n $ 均为奇数环或均为偶数环，则结果图 $ C_m \oplus C_n $ 为偶数环，因此其稀疏数为 0。
• 若 $ C_m $ 与 $ C_n $ 奇偶性不同（一个奇数环，一个偶数环），则结果图 $ C_m \oplus C_n $ 为奇数环，因此其稀疏数为 1。
• 弱 IASI 图 $ G $ 与其子图 $ H $ 的环和的稀疏数为 $ \varphi(G \oplus H) = \varphi(G) - \varphi(H) $，前提是 $ H \subseteq G $。
• 两个弱 IASI 图 $ G_1 $ 与 $ G_2 $ 的并集容许弱 IASI，当且仅当 $ G_1 $ 与 $ G_2 $ 分别容许弱 IASI。
• 两个边不相交的弱 IASI 图的并集的稀疏数等于其各自稀疏数之和。