[论文解读] Weak Integer Additive Set-Indexers of Certain Graph Operations

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文研究了某些图运算（如并、联、冠、补运算）在何种条件下允许弱整数加法集合索引（弱 IASIs），其中边标签为顶点标签的和集，且边集合索引数等于两个关联顶点集合索引数的最大值。主要贡献在于对环图或正则图的补图是否允许弱 IASI 进行了特征刻画，并给出了此类图中单索引边的最小数量的精确界限。

ABSTRACT

An integer additive set-indexer is defined as an injective function $f:V(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ such that the induced function $g_f:E(G) ightarrow 2^{\mathbb{N}_0}$ defined by $g_f (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective, where $f(u)+f(v)$ is the sum set of $f(u)$ and $f(v)$ and $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers. If $g_f(uv)=k \forall uv\in E(G)$, then $f$ is said to be a $k$-uniform integer additive set-indexers. An integer additive set-indexer $f$ is said to be a weak integer additive set-indexer if $|g_f(uv)|=max(|f(u)|,|f(v)|) \forall uv\in E(G)$. A weak integer additive set-indexer $f$ is called a weakly $k$-uniform integer additive set-indexer if $g_f(e)=k \forall e\in E(G)$. We have some characteristics of the graphs which admit weak and weakly uniform integer additive set-indexers. In this paper, we study the admissibility of weak integer additive set-indexer by certain graphs and finite graph operations.

研究动机与目标

• 确定基本图运算在何种条件下允许弱整数加法集合索引（弱 IASIs）。
• 对并、联、冠和补运算等图操作中的稀疏数（单索引边的最小数量）进行特征刻画。
• 研究环图或正则图的补图在何种情况下允许弱 IASI，特别是在自补情况下。
• 建立各种图类和运算中弱 IASI 允许性的必要与充分条件。
• 将现有弱 IASIs 的结果扩展至新的图构造，并推导出单索引边数量的定量界限。

提出的方法

• 将弱 IASI 定义为从顶点集 $ V(G) \to 2^{\mathbb{N}_0} $ 的单射标签函数 $ f $，使得诱导的边标签函数 $ g_f(uv) = f(u) + f(v) $ 满足 $ |g_f(uv)| = \max(|f(u)|, |f(v)|) $。
• 引入稀疏数 $ \varphi(G) $ 的概念，即实现弱 IASI 所需的最少单索引边数量。
• 应用已知结论：图允许弱 IASI 当且仅当其为二分图或至少包含一条单索引边；奇圈至少需要一条单索引边。
• 通过组合分量图的顶点标签，分析图运算，确保交集处的一致性及边标签的单射性。
• 利用公式 $ \varphi(\bar{G}) \geq \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ 推导补图中单索引边数量的界限，适用于 $ r $-正则图。
• 利用自补性和度数约束，推导出单索引边数量的最小值，例如 $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ 适用于 $ r $-正则自补图。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个弱 IASI 图的并图在何种条件下允许弱 IASI，其稀疏数如何确定？
• RQ2 两个弱 IASI 图的联图在何种条件下允许弱 IASI，其结果稀疏数是多少？
• RQ3 当 $ C_n $ 和 $ \bar{C}_n $ 均允许弱 IASIs 时，$ \bar{C}_n $ 的单索引边最小数量是多少？
• RQ4 对于 $ r $-正则图 $ G $，若 $ \bar{G} $ 允许弱 IASI，则 $ \bar{G} $ 中单索引边的最小数量是多少？
• RQ5 自补性对弱 IASI 图及其补图中单索引边数量施加了何种约束？

主要发现

• 两个弱 IASI 图的并图 $ G_1 \cup G_2 $ 允许弱 IASI 当且仅当 $ G_1 $ 和 $ G_2 $ 均为弱 IASI 图。
• 并图的稀疏数为 $ \varphi(G_1 \cup G_2) = \varphi(G_1) + \varphi(G_2) - \varphi(G_1 \cap G_2) $，用于修正重叠的单索引边。
• 环图 $ C_n $ 的补图 $ \bar{C}_n $ 允许弱 IASI 当且仅当 $ C_n $ 中至多有一个顶点的集合索引数大于 1。
• 当 $ C_n $ 和 $ \bar{C}_n $ 均为弱 IASI 图时，$ \bar{C}_n $ 中单索引边的最小数量为 $ \frac{1}{2}n(n-3) $。
• 对于 $ r $-正则图 $ G $，若 $ \bar{G} $ 允许弱 IASI，则 $ \bar{G} $ 中至少包含 $ \frac{1}{2}[(n-1)(n-2) - 2r] $ 条单索引边。
• 在 $ r $-正则自补图 $ G $ 中，$ G $ 和 $ \bar{G} $ 均至少包含 $ \frac{1}{2}r(2r-1) $ 条单索引边。