[论文解读] $G$-martingale representation in the $G$-L'evy setting

Krzysztof Paczka|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了具有有限活动性和无漂移的 $G$-Lévy 过程的鞅表示定理，表明任何此类鞅均可分解为三个分量：关于连续 $G$-布朗运动部分的伊藤积分、跳跃部分的补偿伊藤-勒维积分，以及一个非增的连续 $G$-鞅。其主要贡献是在次线性期望下实现严谨的分解，将经典鞅表示定理扩展至具有波动率和跳跃不确定性的非支配概率测度。

ABSTRACT

In this paper we give the decomposition of a martingale under the sublinear expectation associated with a $G$-L'evy process X with finite activity and without drift. We prove that such a martingale consists of an Ito integral w.r.t. continuous part of a $G$-L'evy process, compensated Ito-L'evy integral w.r.t. jump measure associated with $X$ and a non-increasing continuous $G$-martingale starting at 0.

研究动机与目标

• 将鞅表示理论扩展至 $G$-Lévy 过程，该过程通过引入跳跃不确定性对 $G$-布朗运动进行推广。
• 解决金融中的模型不确定性问题，其中波动率和跳跃测度是模糊的，且不被单一概率测度支配。
• 在无漂移且波动率与跳跃不确定性相互独立的条件下，建立在次线性期望下 $G$-鞅的分解。
• 证明该分解包含对称的伊藤积分、补偿跳跃积分和一个非增的连续 $G$-鞅，且在不同概率测度下具有不同的性质。

提出的方法

• 该框架基于通过反映波动率、跳跃和漂移不确定性的非线性积分-偏微分方程的粘性解定义的次线性期望空间 $(\Omega, \mathcal{H}, \mathbb{E})$。
• 分析依赖于二阶非退化条件，以确保粘性解的光滑性，从而在 $G$-Lévy 框架中可应用伊藤微积分。
• 为与跳跃相关的泊松随机测度引入补偿程序，证明在次线性期望下，补偿积分是一个 $G$-鞅。
• 通过霍尔德不等式和一族非支配概率测度 $\mathfrak{P}$ 上的本质上确界，推导出分解的先验估计。
• 首先通过在停时 $\tau_\lambda$ 上的逼近和分划技术，将表示式建立在简单随机变量上，然后将其扩展至更广泛的 $L^p_G$-可积随机变量类。
• 证明依赖于条件数学期望 $M_t = \mathrm{ess\,sup}_{\mathbb{Q} \in \mathfrak{P}(t,\mathbb{P})} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\xi|\mathcal{F}_t]$ 的良好定义性及其在所有 $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$ 上的一致有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将具有有限活动性和无漂移的 $G$-Lévy 过程下的鞅分解为基本分量？
• RQ2 在次线性期望下，补偿伊藤-勒维积分在鞅表示中起什么作用？
• RQ3 在非支配概率测度下，分解的不同分量如何表现？
• RQ4 经典鞅表示定理能否扩展至在 $G$-期望下同时具有扩散和跳跃不确定性的过程？
• RQ5 在 $G$-Lévy 框架下，此类分解的存在性与唯一性需满足何种条件？

主要发现

• 鞅分解由三个正交分量组成：关于连续 $G$-布朗运动的伊藤积分、关于跳跃测度的补偿伊藤-勒维积分，以及一个从零开始的非增连续 $G$-鞅。
• 伊藤积分分量是一个对称鞅，即在家族 $\mathfrak{P}$ 中所有概率测度下均为鞅，而其他分量仅在部分测度下满足上鞅性质。
• 已证明关于泊松随机测度的补偿积分在次线性期望下是一个 $G$-鞅，从而确保了分解的有效性。
• 该分解适用于广泛的 $L^p_G$-可积随机变量类，通过逼近和停时技术从简单过程推广而来。
• 建立了统一有界性：对所有 $\mathbb{P} \in \mathfrak{P}$，有 $\mathbb{E}^\mathbb{P}[|M^*_T|^2] \leq C_p \|\xi\|_{L^p_G}^2$，其中 $C_p$ 与 $\mathbb{P}$ 无关，确保了表示的稳定性。
• 证明依赖于存在一列 $\{\mathbb{P}_j\}$，使得 $M_{\tau_\lambda} = \sup_j \mathbb{E}^{\mathbb{P}_j}[\xi|\mathcal{F}_{\tau_\lambda}]$ $\mathbb{P}$-几乎必然成立，从而可使用本质上确界并借助 $\hat{\mathbb{P}}^n$ 实现测度重加权。