[论文解读] G-Lévy Processes under Sublinear Expectations

Mingshang Hu, Shigē Péng|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用 27

一句话总结

本文在次线性期望框架下引入了G-Lévy过程，将经典Lévy过程推广至可容纳分布不确定性的情形。建立了G-Lévy-Khintchine公式，并通过非线性积分-微分PDE的粘性解方法证明了G-Lévy过程的存在性，其中G-Poisson过程是一个关键示例，提供了在模型模糊性下的直接构造方法。

ABSTRACT

We introduce G-Lévy processes which develop the theory of processes with independent and stationary increments under the framework of sublinear expectations. We then obtain the Lévy-Khintchine formula and the existence for G-Lévy processes. We also introduce G-Poisson processes.

研究动机与目标

• 在次线性期望下发展具有独立增量和平稳增量的Lévy过程理论，将经典随机过程推广以建模分布不确定性。
• 通过一个非线性积分-微分PDE表征此类过程的分布，推广经典Lévy-Khintchine公式。
• 通过构造一类非线性抛物型积分-微分方程的解，建立G-Lévy过程的存在性。
• 引入并分析在模型不确定性下作为G-Lévy过程特例的G-Poisson过程。
• 与经典方法相比，提供一种更直接、简化的G-Lévy过程构造方法，利用粘性解理论。

提出的方法

• 本文将G-Lévy过程定义为在次线性期望空间下具有独立和平稳增量的随机过程，推广了G-Brownian运动。
• 通过将过程的生成元表征为包含非线性Lévy测度的非线性积分-微分算子，推导出G-Lévy-Khintchine公式。
• 通过构造由子线性函数G定义的生成元的非线性抛物型积分-微分PDE的粘性解，证明了G-Lévy过程的存在性。
• 该方法依赖于Perron方法和逼近技术，为$C_{b.Lip}(Ω)$中的初始数据建立了存在性。
• 该框架使用完全非线性PDE的粘性解理论，关键假设是生成元G满足次可加性和凸性。
• 通过比较原理和粘性解在生成元扰动下的稳定性结果，验证了构造的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Lévy过程推广至次线性期望空间以建模分布不确定性？
• RQ2 在次线性期望下，经典Lévy-Khintchine公式的非线性类比是什么？
• RQ3 能否直接从非线性PDE构造G-Lévy过程？此类构造的条件是什么？
• RQ4 在模型模糊性下，G-Poisson过程如何作为G-Lévy过程的特例出现？
• RQ5 与关联的非线性PDE相关的解算子具有哪些性质——例如次可加性和凸性？

主要发现

• 推导出G-Lévy-Khintchine公式，通过具有子线性生成元G的非线性积分-微分PDE表征G-Lévy过程的分布。
• 通过非线性抛物型积分-微分方程的粘性解，建立了G-Lévy过程的存在性，且对所有初始数据属于$C_{b.Lip}(Ω)$均有解。
• 明确引入了G-Poisson过程作为G-Lévy过程的一个具体实例，其源于非线性Poisson型生成元。
• 非线性PDE的解算子满足次可加性和凸性，确保在模型不确定性下的鲁棒性。
• 该方法相比经典方法提供了更直接、简化的G-Lévy过程构造，利用粘性解理论。
• 该框架通过用次线性期望替代线性期望，推广了经典Lévy过程理论，从而能够建模波动率和分布不确定性。