[论文解读] Galilean and Carrollian Hodge star operators

Marián Fecko|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2022

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文为伽利略时空与洛伦茨时空构造了霍奇星算子的类比形式，这些时空因缺乏非奇异度量张量而无法使用标准的基于度量的构造方法。通过利用规范结构——如时间一形式、空间度量和体积形式——该文基于空间度量或时间投影算子，为每种时空构造了四种不同的霍奇星算子。其主要贡献在于提出了一种坐标无关、几何化的表述方式，从而能够简洁地表达伽利略与洛伦茨电动力学。

ABSTRACT

The standard Hodge star operator is naturally associated with metric tensor (and orientation). It is routinely used to concisely write down physics equations on, say, Lorentzian spacetimes. On Galilean (Carrollian) spacetimes, there is no canonical (nonsingular) metric tensor available. So, the usual construction of the Hodge star does not work. Here we propose analogs of the Hodge star operator on Galilean (Carrollian) spacetimes. They may be used to write down important physics equations, e.g. equations of Galilean (Carrollian) electrodynamics.

研究动机与目标

• 解决伽利略与洛伦茨时空缺乏规范度量张量的问题，该问题导致标准霍奇星算子构造失效。
• 识别这些时空中存在的规范几何结构，如时间一形式、空间度量和体积形式。
• 构造标准霍奇星算子的类比形式，以保持其本质对偶性与类对偶性质。
• 在伽利略与洛伦茨几何中，实现物理定律（尤其是电动力学）的简洁、坐标无关表述。
• 建立在退化或奇异度量时空中的霍奇对偶框架，将微分几何推广至非洛伦茨情形。

提出的方法

• 通过时间一形式与空间度量（或其对偶）定义伽利略与洛伦茨时空，确保高阶微分形式与多向量的存在。
• 为每种时空构造两个不同的霍奇星算子，分别基于：(1) 空间度量 $h^{ab}$ 或其对偶 $\tilde{h}_{ab}$，以及 (2) 时间投影算子 $k_{ab}$ 或其对偶 $\tilde{k}^{ab}$。
• 利用 $h^{ab}$ 与 $k_{ab}$（伽利略情形）或 $\tilde{k}^{ab}$ 与 $\tilde{h}_{ab}$（洛伦茨情形）进行规范的指标升降，构造混合张量场 $\omega^{a\dots b}_{\ \ \ c\dots d}$。
• 在适配标架中推导显式分量公式，表明霍奇星算子以规范方式将 $p$-形式映射为 $(d-p)$-形式。
• 通过将新算子作用于微分形式并与闵可夫斯基时空中的已知结果对比，验证其一致性。
• 将算子应用于构建伽利略与洛伦茨电动力学，以对偶协变形式表达类麦克斯韦方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏非退化度量张量，是否仍可在伽利略与洛伦茨时空上定义霍奇星算子？
• RQ2 哪些规范几何结构可作为构造霍奇星算子类比形式的度量及其逆的替代？
• RQ3 所得霍奇星算子在拉回映射下以及与时空内在几何的关系中表现如何？
• RQ4 新霍奇星算子是否可用于简洁表达如伽利略与洛伦茨电动力学等物理定律？
• RQ5 伽利略与洛伦茨霍奇星算子在形式映射与对偶性质方面，与标准闵可夫斯基霍奇星算子相比有何异同？

主要发现

• 构造了四个不同的霍奇星算子：伽利略时空两个（分别基于 $h^{ab}$ 与 $k_{ab}$），洛伦茨时空两个（分别基于 $\tilde{h}_{ab}$ 与 $\tilde{k}^{ab}$），全部基于规范几何结构。
• 霍奇星算子以规范的、坐标无关的方式将 $p$-形式映射为 $(d-p)$-形式，保留了关键的对偶特征。
• 显式公式表明，在 $1+3$ 维情况下，霍奇星算子作用于微分形式时，伽利略、洛伦茨与闵可夫斯基情形的表现存在显著差异，尤其体现在向量分量与标量分量的对偶化方式上。
• 对于伽利略霍奇星算子，有 $*(fdt + \mathbf{a}\cdot d\mathbf{r}) = dt \wedge \mathbf{a}\cdot d\mathbf{S}$；而对于洛伦茨霍奇星算子，有 $*(fdt + \mathbf{a}\cdot d\mathbf{r}) = f dV$，反映出不同的几何对偶性。
• 基于 $k_{ab}$ 或 $\tilde{k}^{ab}$ 的霍奇星算子在某些情况下对最高阶与最低阶形式的输出为零，表明在某些分量中对偶性发生破坏。
• 该框架使得伽利略与洛伦茨电动力学得以简洁表述，类麦克斯韦方程可表示为 $dF = 0$ 与 $d*F = -J$，与洛伦茨情形类似。