[论文解读] Galois objects and cocycle twisting for locally compact quantum groups

Kenny De Commer|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 17

一句话总结

本文从局部紧量子群 $(M, \Delta)$ 的一个伽罗瓦对象 $(N, \alpha)$ 构造出一个对偶的局部紧量子群 $(\widehat{P}, \Delta_{\widehat{P}})$，证明该构造产生一个具有不变权的良定义量子群。其关键贡献在于表明：任意酉 2-上循环扭变（unitary 2-cocycle twist）的局部紧量子群仍为另一个局部紧量子群，从而将代数上的上循环扭变推广至冯诺依曼代数框架。

ABSTRACT

In this article, we investigate the notion of a Galois object for a locally compact quantum group M. Such an object consists of a von Neumann algebra N equipped with an ergodic integrable coaction of M on N, such that the crossed product is a type I factor. We show how to construct from such a coaction a new locally compact quantum group P, which we call the reflection of M along N. By way of application, we prove the following statement: any twisting of a locally compact quantum group by a unitary 2-cocycle is again a locally compact quantum group.

研究动机与目标

• 将伽罗瓦对象理论从代数量子群推广至局部紧量子群的冯诺依曼代数设置。
• 从伽罗瓦对象 $(N, \alpha)$ 构造对偶的局部紧量子群 $\widehat{P}$，并确保其存在不变权。
• 证明任意酉 2-上循环扭变的局部紧量子群仍为另一个局部紧量子群。
• 建立 $B(\mathscr{H})$ 上外等价类的共轭作用与具有分离预对偶的伽罗瓦对象同构类之间的一一对应关系。

提出的方法

• 将伽罗瓦对象定义为一个冯诺依曼代数 $N$，其上配备一个遍历且可积的共轭作用 $\alpha: N \to N \otimes M$，使得交叉积为类型 I 因子。
• 通过伽罗瓦对象的链接代数构造对偶量子群 $\widehat{P}$，利用 $\mathscr{L}^2(N)$ 上的共表示 $\mathcal{G}$。
• 利用伽罗瓦映射的结构及其在 $\mathscr{L}^2$-空间上的酉性，证明 $\widehat{P}$ 上存在不变权。
• 通过将扭变代数实现为伽罗瓦对象，证明扭变共乘法 $\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ 保持量子群结构。
• 利用单位酉互换子诱导的伽罗瓦对象同构，将外等价的共轭作用与同构的伽罗瓦对象联系起来。
• 利用埃雷斯曼型构造（Ehresmann-type construction）对共轭作用进行对偶化，从而恢复反射的量子群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用局部紧量子群的伽罗瓦对象构造出一个具有不变权的新对偶局部紧量子群？
• RQ2 每个酉 2-上循环扭变的局部紧量子群是否都产生另一个局部紧量子群？
• RQ3 是否存在外等价类的共轭作用（在 $B(\mathscr{H})$ 上）与具有分离预对偶的伽罗瓦对象同构类之间的一一对应？
• RQ4 伽罗瓦对象的共表示如何与对偶量子群的结构相关联？
• RQ5 伽罗瓦映射在 $\mathscr{L}^2$-空间上的作用在保证共轭作用的酉性与可积性方面起什么作用？

主要发现

• 从伽罗瓦对象 $(N, \alpha)$ 构造对偶局部紧量子群 $\widehat{P}$ 是可行的，且其具有不变权，从而确保其为一个良定义的量子群。
• 任意酉 2-上循环扭变 $\widehat{\Delta}_\Omega = \Omega \widehat{\Delta}(\cdot) \Omega^*$ 的局部紧量子群仍为另一个局部紧量子群。
• 与上循环扭变相关的伽罗瓦对象同构于扭变卷积代数 $\widehat{M} \underset{\Omega}{\ltimes} \mathbb{C}$ 及其对偶共轭作用。
• 在 $(\widehat{M}, \widehat{\Delta})$ 上作用于 $B(\mathscr{H})$ 的共轭作用的外等价类与具有分离预对偶的 $(M, \Delta)$ 的右伽罗瓦对象同构类之间存在自然的一一对应。
• 同构的伽罗瓦对象对应于通过单位酉互换子 $v$ 关联的共轭作用，该 $v$ 满足上循环条件并实现外等价。
• 伽罗瓦对象的共表示 $\mathcal{G}$ 在链接代数之间诱导一个保持共乘法的同构，从而确保对偶量子群结构得以保持。