[论文解读] Galois representations attached to abelian varieties of CM type

Davide Lombardo|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文为数域 $K$ 上绝对简化的 CM 型阿贝尔簇 $A$ 的分裂域 $K(A[\rho^n])$ 提供了明确且有效的次数界，改进了 Serre 和 Ribet 的渐近结果。文中根据 CM 域、类数和 Mumford-Tate 群秩，建立了 $[K(A[\rho^n]):K]$ 的精确界限，尤其在 CM 型非退化时表现强劲，并完整描述了椭圆曲线情形的伽罗瓦群。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field, $A/K$ be an absolutely simple abelian variety of CM type, and $\ell$ be a prime number. We give explicit bounds on the degree over $K$ of the division fields $K(A[\ell^n])$, and when $A$ is an elliptic curve we also describe the full Galois group of $K(A_{ ext{tors}})/K$. This makes explicit previous results of Serre and Ribet, and strengthens a theorem of Banaszak, Gajda and Krasoń. Our bounds are especially sharp in case the CM type of $A$ is nondegenerate.

研究动机与目标

• 为绝对简化的 CM 型阿贝尔簇的分裂域提供 $[K(A[\rho^n]):K]$ 的显式、有效界。
• 改进并显式化 Serre 与 Ribet 关于 $[K(A[\rho^n]):K]$ 随 $n \to \infty$ 增长的渐近界。
• 当 $A$ 为椭圆曲线时，完整描述伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$。
• 通过在界中提供有效常数，强化 Banaszak、Gajda 与 Krasoń 的早期结果。

提出的方法

• 使用 Mumford-Tate 群 $\operatorname{MT}(A)$ 作为参考代数群，分析 $\rho^n$-挠点的伽罗瓦像 $G_{\rho^n}$。
• 将问题约化为估计指标 $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$ 与 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$ 的大小。
• 通过反射域与范数映射，对无相对分歧的 $\rho$ 和非退化 CM 型，显式计算 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}/\rho^n\mathbb{Z})$。
• 应用 Ono 关于代数群 $\mathbb{Z}_\rho$-点的理论，定义 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$。
• 利用 Mumford-Tate 猜想（对 CM 变体已知），将 $G_{\rho^\infty}$ 识别为 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho)$ 的有限指数子群。
• 构造显式 CM 阿贝尔簇族（如 $y^p = x(1-x)$ 的雅可比簇）以检验并展示界限的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 CM 型阿贝尔簇，是否存在不依赖渐近估计的 $[K(A[\rho^n]):K]$ 的有效显式界？
• RQ2 当 $A$ 为 CM 型椭圆曲线时，伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$ 的结构如何？
• RQ3 能否以 $K$ 与 $E$ 的不变量为参数，有效界定指标 $[\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\rho) : G_{\rho^\infty}]$？
• RQ4 当 CM 型为非退化时，界限的紧致性如何？能否通过显式例子加以验证？
• RQ5 作为阿贝尔簇维数的函数，$\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$ 的增长速率如何？

主要发现

• 当 $\ell > \sqrt{2 \cdot g!}$ 且在 $K \cdot E$ 中无相对分歧时，有 $\frac{1}{4\mu\sqrt{g!}} \cdot \ell^{nr} \leq [K(A[\ell^n]):K] \leq \frac{5}{2}\mu \cdot h(K) \cdot \ell^{nr}$，其中 $\mu$ 为 $E$ 中单位根的个数，$h(K)$ 为 $K$ 的类数。
• 当 $A$ 为椭圆曲线时，伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(K(A_{\text{tors}})/K)$ 显式描述为 $\prod_{\ell} \mathcal{O}_E \otimes \mathbb{Z}_\ell^\times$ 的子群，其指数被 $3[K:\mathbb{Q}]$ 整除，表明界中常数 3 的紧致性。
• 对于具有非退化 CM 型的阿贝尔曲面（$g=2$），$G_{\ell^\infty} \cap \operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ 在 $\operatorname{MT}(A)(\mathbb{Z}_\ell)$ 中的指标至多为 $[K:E^*]$，从而导出 $[K(A[\ell^n]):K]$ 的显式下界。
• 比值 $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K]$ 随阿贝尔簇维数呈至少指数增长，由 $y^p = x(1-x)$ 的雅可比簇族验证：当 $\ell=2$，$n=1$，且 $\dim A = (p-1)/2$ 时，该比值为 $2^{(p+1)/2}/p$。
• 当 $\dim A = 2$ 且 $\ell$ 在 $K \cdot E$ 中无相对分歧时，有不等式 $[K(A[\ell^n]):K] \geq (1 - 1/\ell)^3 \ell^{3n}$，表明首项系数的最优性。
• 对 $y^p = x(1-x)$ 的雅可比簇 $J(p)$ 的例子表明，$[K(A[2^n]):K]$ 的下界常数是紧的：$[K(J(p)[2]):K] = p$，且 $\ell^{n \cdot \operatorname{rank} \operatorname{MT}(A)} / [K(A[\ell^n]):K] = 2^{(p+1)/2}/p$，证实了维数上的指数增长。