[论文解读] Gamma Tilting Calculus for GGC and Dirichlet means with applications to Linnik processes and Occupation Time Laws for Randomly Skewed Bessel Processes and Bridges

Lancelot F. James|ArXiv.org|Oct 6, 2006

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文为广义伽马卷积（GGC）和狄利克雷过程均值泛函发展了一套伽马倾斜微积分，建立了正稳定型 Linnik 分布与随机偏斜 Bessel 过程及桥接过程的占用时间之间的分布等价性。关键贡献在于证明了 p-偏斜 Bessel 过程的占用时间与非平凡的随机偏斜过程在分布上等价，从而通过稳定子序和 GGC 子序得到显式密度公式与恒等式。

ABSTRACT

This paper develops some general calculus for GGC and Dirichlet process means functionals. It then proceeds via an investigation of positive Linnik random variables, and more generally random variables derived from compositions of a stable subordinator with GGC subordinators, to establish various distributional equivalences between these models and phenomena connected to local times and occupation times of what are defined as randomly skewed Bessel processes and bridges. This yields a host of interesting identities and explicit density formula for these models. Randomly skewed Bessel processes and bridges may be seen as a randomization of their p-skewed counterparts developed in Barlow, Pitman and Yor (1989) and Pitman and Yor (1997), and are shown to naturally arise via exponential tilting. As a special result it is shown that the occupation time of a p-skewed random Bessel process or (generalized) bridge is equivalent in distribution to the occupation time of a non-trivial randomly skewed process.

研究动机与目标

• 为 GGC 和狄利克雷过程均值泛函开发一套通用微积分，特别是通过伽马倾斜与缩放操作。
• 利用稳定子序与 GGC 子序，建立正 Linnik 随机变量的新分布恒等式。
• 通过指数倾斜，将 p-偏斜 Bessel 过程与桥接过程的局部时间与占用时间与一类新的随机偏斜过程联系起来。
• 推导出偏斜 Bessel 过程与桥接过程占用时间分布的显式密度公式与分布等价性。
• 证明 p-偏斜 Bessel 过程的占用时间与非平凡随机偏斜过程在分布上等价。

提出的方法

• 为狄利克雷均值泛函与 GGC 随机变量开发伽马倾斜微积分，使用拉普拉斯变换与 Thorin 测度。
• 利用 GGC 变量作为伽马过程线性泛函的表示，将其与狄利克雷过程均值联系起来。
• 应用指数倾斜定义随机偏斜 Bessel 过程与桥接过程，表明其自然源于具有 GGC 分布的子序。
• 利用恒等式 $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $（其中 $ S_{\alpha} $ 与 $ S'_{\alpha} $ 为独立同分布的 $ \alpha $-稳定变量）证明 $ X_{\alpha} $ 是狄利克雷均值泛函。
• 利用稳定子序与 GGC 子序的性质，推导广义狄利克雷均值泛函的缩放与变换规律。
• 应用 Pitman 与 Yor（1992, 1997）关于局部时间与占用时间的结果，建立偏斜 Bessel 桥的分布恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 伽马倾斜微积分如何用于将 GGC 与狄利克雷过程均值泛函与 Bessel 过程的占用时间联系起来？
• RQ2 正 Linnik 分布与 p-偏斜或随机偏斜 Bessel 过程的占用时间之间存在哪些分布等价性？
• RQ3 稳定子序与 GGC 子序的复合如何导致随机偏斜 Bessel 过程与桥接过程的新模型？
• RQ4 p-偏斜 Bessel 过程的占用时间能否表示为非平凡随机偏斜过程的占用时间？
• RQ5 GGC 子序、稳定子序与局部时间泛函之间的相互作用会产生哪些显式密度公式？

主要发现

• p-偏斜 Bessel 过程或桥接过程的占用时间，在分布上等价于非平凡随机偏斜 Bessel 过程的占用时间。
• 通过伽马倾斜与 GGC 子序复合，推导出随机偏斜 Bessel 过程与桥接过程的显式密度公式。
• 随机变量 $ X_{\alpha} = S_{\alpha}/S'_{\alpha} $（其中 $ S_{\alpha} $ 与 $ S'_{\alpha} $ 为独立同分布的 $ \alpha $-稳定变量）被证明是狄利克雷均值泛函。
• 对于 $ 0 < \beta < 1 $，恒等式 $ M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha\beta}) \overset{d}{=} M_{\alpha\theta}(\varrho_{\alpha})[M_{\theta}(\varrho_{\beta})]^{1/\alpha} $ 成立，将偏斜 Bessel 桥的缩放局部时间联系起来。
• 过程 $ B^{(\alpha,1/2)}_{\alpha}(t) $，通过维度为 $ 2-2\beta $ 的 Bessel 桥的正时间占比进行随机偏斜，其占用时间分布与标准布朗桥的占用时间分布等价。
• 恒等式 $ A^{(\alpha,\alpha\theta)}_{\alpha,\xi_{\theta}} \overset{d}{=} A^{(\alpha\beta,\alpha\theta)}_{\alpha\beta,p} $ 确认了通过适当的随机缩放，可从 $ \xi $-偏斜桥接过程恢复 p-偏斜 Bessel 桥接过程。