[论文解读] Gap probabilities and applications to geometry and random topology

Antonio Lerario, Erik Lundberg|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文推导出有限高斯 β-系综中间隙概率在零处导数的精确公式，表明当 β = 1,2,4 时，其渐近行为与 $-\frac{2\sqrt{2}}{\pi}n^{1/2}$ 成正比。该结果为奇异厄米特矩阵的内在体积以及随机实射影超曲面交的期望贝蒂数提供了新的定量洞察，揭示固定贝蒂数在期望下收敛于 1，且总贝蒂数之和以 $n + \frac{2}{\sqrt{\pi}}n^{1/2} + O(n^c)$ 的形式增长，其中 k=2。

ABSTRACT

We give an exact formula for the value of the derivative at zero of the gap probability in finite n x n Gaussian ensembles. As n goes to infinity our computation provides an asymptotic (with an explicit constant) of the order n^(1/2). As a first application, we consider the set of n x n (Real, Complex or Quaternionic) Hermitian matrices with Frobenius norm one and determinant zero. We give an exact formula for the intrinsic volume of this set and as n goes to infinity its asymptotic (with an explicit constant) is of the order n^(1/2). As a second application we consider the problem of computing Betti numbers of an intersection of k random Kostlan quadrics in RP^n. We show that the i-th Betti number is asymptotically expected to be one (for i sufficiently away from n/2). In the case k=2 the the sum of all Betti numbers was recently shown by the first author to equal n+o(n). Here we sharpen this asymptotic proving an asymptotic with two orders of precision and explicit constants.

研究动机与目标

• 计算有限高斯 $\beta$-系综中 $\beta = 1,2,4$ 时间隙概率 $f_{\beta,n}'(0)$ 在零处的导数。
• 将此计算应用于确定范数为一的奇异 $\beta$-厄米特矩阵集合 $\Sigma_{\beta,n}$ 的内在体积。
• 分析 $\mathbb{R}\textrm{P}^n$ 中 $k$ 个随机科斯塔兰二次型交的期望贝蒂数，特别关注 $k=2$ 的情形。
• 建立固定贝蒂数在偏离中间维数有界范围下收敛于 1 的渐近一致性质。
• 改进 $k=2$ 时总贝蒂数之和的渐近增长，将其与间隙概率导数联系起来。

提出的方法

• 使用有限 $\beta$-系综的谱统计推导 $f_{\beta,n}'(0)$ 的精确公式，适用于所有 $\beta > 0$，并对 $\beta = 1,2,4$ 进行渐近分析。
• 通过单位球面 $S^{N_{\beta}-1}$ 上奇异点集 $\varepsilon$-管的体积，将 $\Sigma_{\beta,n}$ 的内在体积与间隙概率的导数联系起来。
• 利用积分几何与埃克哈特-杨定理，将到奇异集的距离与矩阵的最小奇异值联系起来。
• 应用科斯塔兰随机矩阵模型与凯斯-赖斯公式，计算 $k$ 个随机二次型交的期望贝蒂数。
• 运用庞加莱对偶性及实代数几何的界，控制贝蒂数的增长并建立一致收敛速率。
• 利用 $SO(N)$ 作用下的对称性与不变性，计算随机 2-平面与 $\Sigma_{2,n}$ 交点的期望数量，将其与 $|\Sigma_{2,n}|$ 联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限高斯 $\beta$-系综中，$\beta = 1,2,4$ 时，间隙概率 $f_{\beta,n}'(0)$ 在零处的精确值是什么？
• RQ2 当 $n \to \infty$ 时，范数为一的奇异 $\beta$-厄米特矩阵集合 $\Sigma_{\beta,n}$ 的内在体积是多少？
• RQ3 在 $\mathbb{R}\textrm{P}^n$ 中 $k$ 个随机科斯塔兰二次型交的集合 $X$ 中，固定 $i$ 的期望 $i$-阶贝蒂数 $\mathbb{E}b_i(X)$ 如何变化？
• RQ4 当 $k=2$ 时，总贝蒂数之和 $\sum_j \mathbb{E}b_j(X)$ 的渐近增长形式是什么？
• RQ5 期望贝蒂数 $\mathbb{E}b_i(X)$ 收敛于 1 的速度如何依赖于 $i$ 与中间维数 $n/2$ 的距离？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，间隙概率在零处的导数满足 $f_{\beta,n}'(0) \sim -\frac{2\sqrt{2}}{\pi}n^{1/2}$，其中 $\beta = 1,2,4$。
• $\Sigma_{\beta,n}$ 的内在体积满足 $|\Sigma_{\beta,n}| \sim |S^{N_{\beta}-2}| \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}n^{1/2}$，其中 $N_{\beta}$ 为 $\beta$-厄米特矩阵空间的实维数。
• 对每个固定的 $i \geq 0$，$k$ 个随机科斯塔兰二次型交的期望 $i$-阶贝蒂数满足 $\mathbb{E}b_i(X) = 1 + O(n^{-M})$，对所有 $M > 0$ 成立，且当 $i$ 与 $n/2$ 保持有界距离时一致成立。
• 当 $k=2$ 时，所有期望贝蒂数之和的增长形式为 $\sum_{j=0}^n \mathbb{E}b_j(X) = n + \frac{2}{\sqrt{\pi}}n^{1/2} + O(n^c)$，其中 $c > 0$ 任意，校正项来源于中间维数贝蒂数的贡献。
• 校正项 $\frac{2}{\sqrt{\pi}}n^{1/2}$ 等于 $-\sqrt{\frac{\pi}{2}}f_{1,n}'(0)$，从而将总贝蒂数之和与间隙概率导数直接联系起来。
• 随机 2-平面与 $\Sigma_{2,n}$ 交点的期望数量为 $\frac{2}{\sqrt{\pi}}n^{1/2} + O(1)$，通过积分几何与对称性计算得出。