[论文解读] Gauge-invariant gravitational waves in matter beyond linearized gravity

Deepen Garg, I. Y. Dodin|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 97被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在非线性引力波理论中超越线性化引力的精确规范不变性拟线性（QL）理论，利用等离子体物理中的工具，推导出引力波能量-动量的显式规范不变表达式。该框架确保了引力波-物质相互作用的一致建模，包括非线性度规反作用，且在所有波幅阶数下以规范不变的形式恢复了标准真空引力波特性。

ABSTRACT

Modeling the propagation of gravitational waves (GWs) through matter is complicated by the gauge freedom of linearized gravity in that once nonlinearities are taken into consideration, gauge artifacts can cause spurious acceleration of the matter. To eliminate these artifacts, we propose how to keep the theory of dispersive GWs gauge-invariant beyond the linear approximation and, in particular, obtain an unambiguous gauge-invariant expression for the energy--momentum of a GW in dispersive medium. Using analytic tools from plasma physics, we propose an exactly gauge-invariant ``quasilinear'' theory, in which GWs are governed by linear equations and also affect the background metric on scales large compared to their wavelength. As a corollary, the gauge-invariant geometrical optics of linear dispersive GWs in a general background is formulated. As an example, we show how the well-known properties of vacuum GWs are naturally and concisely yielded by our theory in a manifestly gauge-invariant form. We also show how the gauge invariance can be maintained within a given accuracy to an arbitrary order in the GW amplitude. These results are intended to form a physically meaningful framework for studying dispersive GWs in matter.

研究动机与目标

• 解决在色散介质中非线性引力波（GW）理论中的规范赝象，这些赝象会导致物质出现虚假加速度。
• 构建一种在波幅任意阶数下保持一致的引力波规范不变拟线性（QL）理论。
• 推导出在色散介质中引力波能量-动量的明确且规范不变的表达式。
• 以规范不变的方式将线性引力波的几何光学（GO）推广至一般背景。
• 确保理论在包含背景度规的二阶及更高阶修正时仍保持精确规范不变性。

提出的方法

• 采用度规扰动和爱因斯坦张量按引力波振幅 $ a $ 的幂级数展开，形式为 $ h_{\alpha\beta} = \sum_n a^n \vartheta^{(n)}_{\alpha\beta} $。
• 利用李导数 $ \mathcal{L}_\xi $ 跟踪扰动的规范变换，并确保各阶方程的不变性。
• 在每一阶 $ n $ 推导爱因斯坦方程 $ \sigma_{\alpha\beta}^{(n)} = 0 $，并证明其在 $ \xi^\mu = \mathcal{O}(a) $ 的坐标变换下保持不变。
• 通过平均拉格朗日量方法应用拟线性方法，类比于等离子体物理，以波场和极化率定义波的能量-动量。
• 通过波拉格朗日量（二次于 $ h_{\alpha\beta} $）构造引力波的规范不变能量-动量张量，确保在规范变换下保持不变。
• 将微扰级数截断至有限阶 $ m $，求解 $ \sigma_{\alpha\beta}^{(n)} = 0 $（$ n \leq m $），其中 $ \vartheta^{(0)}_{\alpha\beta} $ 不等于背景度规 $ g_{\alpha\beta} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在超越线性化引力的背景下，使引力波的拟线性理论实现精确规范不变性？
• RQ2 在色散介质中，引力波能量-动量的正确、规范不变的表达式是什么？
• RQ3 如何在保持规范不变性的同时，一致地描述引力波对背景度规的非线性反作用？
• RQ4 能否以显式规范不变的方式表述一般背景中线性引力波的几何光学？
• RQ5 如何在引力波振幅的任意阶数下保持规范不变性？

主要发现

• 本文推导出色散介质中引力波的规范不变能量-动量张量，表达式为式（79），完全避免了规范赝象。
• 拟线性理论确保波方程保持线性，而背景度规在 $ \mathcal{O}(a^2) $ 阶得到修正，避免了先前方法中存在的规范破坏问题。
• 该理论以显式规范不变的形式恢复了真空引力波的标准特性，包括以光速传播和横向性质。
• 方程 $ \sigma_{\alpha\beta}^{(n)} = 0 $ 即使在 $ \xi^\mu $ 非线性地依赖于 $ a $ 的情况下，也被证明在坐标变换下保持不变，确保了所有阶数的一致性。
• 该方法允许任意阶的规范不变展开，且 $ \sigma_{\alpha\beta}^{(n)} = 0 $ 构成一个可逐阶求解的一致方程层级。
• 零阶解 $ \vartheta^{(0)}_{\alpha\beta} $ 并非背景度规 $ g_{\alpha\beta} $，而至 $ \mathcal{O}(a^2) $ 阶的完整度规需通过求解 $ \sigma_{\alpha\beta}^{(2)} = 0 $ 得到，这与伊斯拉森方法的方法论有本质区别。