[论文解读] Gauge-invariant perturbation theory on the Schwarzschild background spacetime Part I : -- Formulation and odd-mode perturbations

K. Nakamura|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2021

Astrophysical Phenomena and Observations参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了一套用于史瓦西时空的规范不变微扰框架，通过使用奇异球谐函数分解度规微扰并利用边界条件正则化奇点，解决了长期存在的 $l=0$ 和 $l=1$ 模态微扰处理难题。该框架对所有 $l \geq 0$ 模态以规范不变方式推导出线性化爱因斯坦方程，并表明奇模态微扰自然包含克尔参数的微扰，证实了这些模态的物理一致性。

ABSTRACT

This is the Part I paper of our series of full papers on a gauge-invariant {\it linear} perturbation theory on the Schwarzschild background spacetime which was briefly reported in our short papers [K.~Nakamura, Class. Quantum Grav. {\bf 38} (2021), 145010; K.~Nakamura, Letters in High Energy Physics {\bf 2021} (2021), 215.]. We first review our general framework of the gauge-invariant perturbation theory, which can be easily extended to the {\it higher-order} perturbation theory. When we apply this general framework to perturbations on the Schwarzschild background spacetime, a gauge-invariant treatments of $l=0,1$ mode perturbations are required. On the other hand, in the current consensus on the perturbations of the Schwarzschild spacetime, gauge-invariant treatments for $l=0,1$ modes are difficult if we keep the reconstruction of the original metric perturbations in our mind. Based on this situation, we propose a strategy of a gauge-invariant treatments of $l=0,1$ mode perturbations through the decomposition of the metric perturbations by singular harmonic functions at once and the regularization of this singularity through the imposition of the boundary conditions to the Einstein equations. Following this proposal, we derive the linearized Einstein equations for any modes of $l\geq 0$ in a gauge-invariant manner. We discuss the solutions to the odd-mode perturbation equations in the linearized Einstein equations and show that these perturbations include the Kerr parameter perturbation in these odd-mode perturbation, which is physically reasonable.

研究动机与目标

• 开发一种适用于史瓦西背景的规范不变线性微扰理论，可扩展至高阶微扰。
• 解决在重构原始度规微扰时，长期存在的 $l=0$ 和 $l=1$ 模态微扰构建规范不变变量的困难。
• 提出一种利用奇异球谐函数和边界条件的正则化策略，以处理 $l=0,1$ 模态固有的奇点。
• 对所有 $l \geq 0$ 模态以规范不变形式推导出线性化爱因斯坦方程。
• 证明奇模态解的物理合理性，包括包含克尔参数微扰。

提出的方法

• 利用先前为通用时空上高阶微扰所发展的通用规范不变微扰框架。
• 通过将度规微扰分解为球谐函数 $Y_{lm}$ 并识别奇模态与偶模态分量，将该框架应用于史瓦西背景。
• 引入奇异球谐函数以表示 $l=0$ 和 $l=1$ 模态微扰，其本身携带奇点。
• 在爱因斯坦方程上施加边界条件以正则化 $l=0,1$ 模态中的奇点，从而实现一致的规范不变处理。
• 利用 2+2 形式化推导出规范不变的线性化爱因斯坦方程，给出张量分量 $H_{abc}[\mathcal{F}]$、$H_{ab}^{\;\.c}[\mathcal{F}]$ 和 $H_a^{\.bc}[\mathcal{F}]$ 的显式表达式。
• 采用时空的 2+2 分解，将径向与角向部分分离，其中 $A,B,C$ 标记角向分量，$p,q,r$ 标记径向分量，系统地推导微扰方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准重构方法失效时，如何在史瓦西时空上一致地表述 $l=0$ 和 $l=1$ 模态的规范不变微扰？
• RQ2 是否可以在不放弃重构原始度规微扰目标的前提下，实现 $l=0,1$ 模态的规范不变处理？
• RQ3 通过该方法推导出的奇模态解是否包含如克尔参数微扰等物理上有意义的量？
• RQ4 通过在爱因斯坦方程上施加边界条件来正则化奇点的方法，在数学和物理上是否一致？
• RQ5 所提出的 $l \geq 0$ 模态规范不变形式化是否与文献中 $l \geq 2$ 情况下的已知结果保持一致？

主要发现

• 所提出的方法通过使用奇异球谐函数和边界条件正则化，成功地对所有 $l \geq 0$ 模态（包括 $l=0$ 和 $l=1$）以规范不变方式推导出线性化爱因斯坦方程。
• 奇模态微扰解自然包含克尔参数微扰，该结果具有物理合理性，证实了该方法的一致性。
• 该框架与高阶微扰理论兼容，因其建立在先前为高阶应用所发展的通用规范不变形式化基础之上。
• 2+2 形式化提供了张量 $H_{abc}[\mathcal{F}]$、$H_{ab}^{\;\.c}[\mathcal{F}]$ 和 $H_a^{\.bc}[\mathcal{F}]$ 的显式分量表达式，使微扰方程的系统计算成为可能。
• 通过边界条件实现的正则化有效处理了 $l=0,1$ 模态微扰中的奇点，实现了稳定的规范不变处理。
• 奇模态的结果为第二部分和第三部分中的偶模态分析奠定了基础，物理合理性将在后续工作中进一步验证。