[论文解读] Gaussian Bounds for Noise Correlation of Functions

Elchanan Mossel|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2007

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文通过傅里叶分析、不变性原理和多变量正态分布的性质，为相关概率空间上低影响函数的噪声相关性建立了紧致的高斯界。关键结果表明，对于低影响函数，相关性下函数乘积的期望在渐近意义上由高斯极值概率决定，从而在社会选择和加法组合学中得到紧致界，包括在 $k$ 个候选人中采用康多尔塞投票制时，唯一胜者出现的概率为 $k^{-1+o(1)}$，与多数函数的行为一致。

ABSTRACT

In this paper we derive tight bounds on the expected value of products of {\em low influence} functions defined on correlated probability spaces. The proofs are based on extending Fourier theory to an arbitrary number of correlated probability spaces, on a generalization of an invariance principle recently obtained with O'Donnell and Oleszkiewicz for multilinear polynomials with low influences and bounded degree and on properties of multi-dimensional Gaussian distributions. The results derived here have a number of applications to the theory of social choice in economics, to hardness of approximation in computer science and to additive combinatorics problems.

研究动机与目标

• 推导相关概率空间上低影响函数乘积期望的紧致界。
• 将傅里叶分析和不变性原理扩展至多个相关概率空间。
• 将这些界应用于社会选择理论，特别是预测投票结果和分析康多尔塞聚合。
• 在乘积空间（如 $\mathbb{Z}_m^n$）中，建立满足线性关系的 $k$-元组的渐近等分布结果。
• 证明对于低影响集合，满足模 $m$ 线性关系的 $k$-元组数量，渐近等同于相同测度的随机集合。

提出的方法

• 将傅里叶分析扩展至多个相关概率空间，以分析低影响函数。
• 应用关于低影响且有界次数的多重线性多项式的一般化不变性原理。
• 利用多变量正态分布的性质来刻画极值相关性值。
• 以底层概率空间的相关结构和 $\mathbb{E}[f_i]$ 表示 $\mathbb{E}[f_1 \cdots f_k]$ 的界。
• 采用递归论证，将低影响函数的结果扩展至一般函数，方法为修改有界数量的坐标。
• 通过不变性原理和高斯近似，将结果应用于超图和乘积空间中的算术关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相关概率空间上定义的低影响函数乘积期望的最紧致界是什么？
• RQ2 投票结果的可预测性如何与聚合函数的影响结构相关？
• RQ3 在低影响投票制度下，康多尔塞投票在 $k$ 个候选人中产生唯一胜者的渐近概率是多少？
• RQ4 在 $\mathbb{Z}_m^n$ 中，满足线性关系的 $k$-元组数量渐近匹配随机情况的条件是什么？
• RQ5 低影响集合在乘积空间中的相关结构能否由高斯测度近似，这对算术关系有何影响？

主要发现

• 康多尔塞投票在 $k$ 个候选人中产生唯一胜者的概率为 $k^{-1+o(1)}$，与多数函数的渐近行为一致。
• 对于任意低影响集合 $A \subset \mathbb{Z}_m^n$，满足 $\sum_{i=1}^k x_i \in B^n \mod m$ 的 $k$-元组 $(x_1,\ldots,x_k) \in A^k$ 的数量为 $(1 \pm o(1)) \mathbb{P}[A]^k (m^{k-1} |B|)^n$，与随机情况一致。
• 对于一般集合 $A$，存在大小为 $O(1)$ 的坐标集合 $S, T$，使得通过在 $S$ 和 $T$ 上修改 $A$，可得到集合 $\underline{A}^S$ 和 $\overline{A}^T$，使得相同的渐近计数成立。
• 通过采样 $\rho$ 比例的选民来预测投票结果时，多数函数在所有低影响函数中使预测性最大化。
• 当 $k \geq 3$ 且关系为两两独立且连通时，满足线性关系的 $k$-元组数量仅取决于集合的测度，而不依赖于其结构，对低影响集合成立。
• 对于 $\mathbb{Z}_m^n$ 中的多项式关系 $PQ = 0$，满足该关系的 $A^k$ 中的 $k$-元组数量被常数倍的 $|R|^n$ 所限制，其中 $R$ 是解集，对低影响 $A$ 成立。