[论文解读] Gaussian Noise Sensitivity and BosonSampling

Gil Kalai, Guy Kindler|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 22被引用 37

一句话总结

本文研究了随机高斯矩阵的平方永久值的噪声敏感性，这是玻色子采样（BosonSampling）中的关键组成部分。结果表明，当噪声水平高于 $\omega(1/n)$ 时，有噪声与无噪声结果之间的相关性趋于零，这意味着有噪声的玻色子采样可被经典计算机高效模拟，从而对无需容错的量子优越性实现构成挑战。

ABSTRACT

We study the sensitivity to noise of |permanent(X)|^2 for random real and complex n x n Gaussian matrices X, and show that asymptotically the correlation between the noisy and noiseless outcomes tends to zero when the noise level is ω(1)/n. This suggests that, under certain reasonable noise models, the probability distributions produced by noisy BosonSampling are very sensitive to noise. We also show that when the amount of noise is constant the noisy value of |permanent(X)|^2 can be approximated efficiently on a classical computer. These results seem to weaken the possibility of demonstrating quantum-speedup via BosonSampling without quantum fault-tolerance.

研究动机与目标

• 研究 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 对随机 $n \times n$ 矩阵中高斯噪声的敏感性。
• 评估在现实噪声模型下，有噪声的玻色子采样是否对经典计算机仍保持计算困难。
• 确定噪声水平的阈值，使得有噪声的玻色子采样结果与理想结果不再相关，从而削弱量子优势。
• 探索有噪声的玻色子采样是否可由低深度经典电路近似，暗示其经典可模拟性。
• 将结论推广至一般多项式及其他矩阵集合（如伯努利矩阵），以增强普适性。

提出的方法

• 采用噪声模型 $Y = \sqrt{1-\epsilon}X + \sqrt{\epsilon}U$，其中 $U$ 为独立的高斯矩阵，以定义 $\epsilon$-噪声。
• 在实数和复数情形下，应用傅里叶-埃米特展开及正交函数展开，分析噪声算子对 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 的作用。
• 计算埃米特展开中各阶次的 $L^2$-范数分布，表明实数情形下，第 $2k$ 阶系数的贡献为 $(k+1)(n!)^2$，复数情形下为 $(n!)^2$。
• 推导出显式的相关性界：$\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{(1-(1-\epsilon)^n)(2-\epsilon)}{\epsilon n(1+(1-\epsilon)^n)}}$，当 $\epsilon = \omega(1/n)$ 时，该值趋于零。
• 证明当 $\epsilon > 0$ 为常数时，有噪声输出可由低次多项式近似，且此类近似可在多项式时间内计算。
• 将分析扩展至归一化项 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ 及具有重复列的永久值，适用于 $m \ll n$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为噪声水平 $\epsilon$ 的函数，理想与有噪声的 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 之间的相关性如何变化？
• RQ2 在何种噪声水平下，理想与有噪声的玻色子采样结果之间的相关性衰减至零？
• RQ3 当噪声为常数或高于 $\omega(1/n)$ 时，有噪声的玻色子采样是否可在经典计算机上高效模拟？
• RQ4 噪声敏感性在多大程度上削弱了近似玻色子采样的计算困难性，从而对量子优越性主张构成挑战？
• RQ5 这些结果如何推广至其他矩阵集合（如 i.i.d. 伯努利矩阵）或超越永久值的多项式？

主要发现

• 当 $\epsilon = \omega(1/n)$ 时，$|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 与其有噪声版本之间的相关性趋于零，意味着与理想输出的关联性丧失。
• 当 $\epsilon > 0$ 为常数时，有噪声的 $|\mathsf{permanent}(X)|^2$ 可由次数为 $d$ 的多项式近似，其中 $d \gg 1/\epsilon$，且此类近似可在多项式时间内计算。
• 有噪声输出可被常数深度电路以常数精度近似，意味着有噪声的玻色子采样属于 $\mathbf{P}$。
• 复数情形下的显式相关性公式为 $\mathrm{corr}(f,g) = \sqrt{\frac{2(1-e^{-c})}{c(1+e^{-c})}}$，当 $\epsilon = c/n$ 时，该值随 $c \to \infty$ 而趋于零。
• 归一化项 $h(A) = \mathsf{permanent}(AA^*)$ 同样表现出类似的噪声敏感性行为，暗示对完整玻色子采样分布具有更广泛的影响。
• 结果表明，现实的噪声模型可能使玻色子采样具有经典可模拟性，从而削弱了无需容错的量子优越性主张。