[论文解读] General Geometry and Geometry of Electromagnetism

Shervgi S. Shahverdiyev|arXiv (Cornell University)|May 22, 2002

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出了一种名为广义几何（General Geometry）的新几何框架，将黎曼几何扩展以描述电磁学。研究表明，电磁场源于非黎曼几何中的曲率函数，麦克斯韦方程组与洛伦兹力定律可自然地从几何原理中导出，通过单一几何结构统一了带电粒子的动力学与场的作用。

ABSTRACT

It is shown that Electromagnetism creates geometry different from Riemannian geometry. General geometry including Riemannian geometry as a special case is constructed. It is proven that the most simplest special case of General Geometry is geometry underlying Electromagnetism. Action for electromagnetic field and Maxwell equations are derived from curvature function of geometry underlying Electromagnetism. And it is shown that equation of motion for a particle interacting with electromagnetic field coincides exactly with equation for geodesics of geometry underlying Electromagnetism.

研究动机与目标

• 解决长期以来在黎曼几何框架内几何化电磁学的问题，该问题因根本性不兼容而失败。
• 构建一个广义几何框架——广义几何，其包含黎曼几何作为特例，并可容纳由电磁学引起的非黎曼结构。
• 证明带电粒子在电磁场中的运动方程与电磁学基础几何中的测地线方程完全一致。
• 从该新几何结构的曲率函数推导出电磁作用泛函与麦克斯韦方程组。
• 通过将物理场的性质与底层几何的数学性质相联系，建立统一的几何基础，提出一条通往统一所有基本相互作用的路径。

提出的方法

• 引入一个依赖于位置 $x$ 和速度 $x_u$ 的广义度量张量 $^{A}g_{\nu\beta}$，使其具有非局部性，与黎曼几何不相容。
• 从一般作用量 $S = \frac{1}{2} \int du \, \mathbf{g}_{\mu\nu}(x,x_u) x^\mu_u x^\nu_u$ 推导测地线方程，得到一个联络 $\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$ 和一个用于指标升降的度量型张量 $G_{\lambda\nu}$。
• 将曲率函数 $R_\lambda$ 定义为几何源，证明其满足 $R_\lambda = \partial_\mu F^\mu_\lambda$，当 $R_\lambda = 0$ 时可导出麦克斯韦方程组。
• 将电磁拉格朗日量构造为 $R = A^\lambda R_\lambda = \partial_\mu(A^\lambda F^\mu_\lambda) - \frac{1}{2}F_{\mu\lambda}F^{\mu\lambda}$，仅与标准形式相差一个全导数。
• 证明电磁学基础几何中曲线的长度为 $ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} + \frac{q}{cm}A_\mu dx^\mu$，表明该几何依赖于粒子的电荷与质量。
• 通过结合引力场与电磁场各自的曲率函数，提出电磁学与引力的统一几何，暗示无需希格斯场即可实现基本相互作用的几何统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 电磁学能否在黎曼几何框架内被一致地几何化？
• RQ2 何种几何结构能解释带电粒子在电磁场中动力学，使其运动方程恰好对应于测地线？
• RQ3 电磁作用泛函与麦克斯韦方程组能否完全从几何曲率函数中推导？
• RQ4 电磁学的几何结构与黎曼几何在根本上如何不同，特别是在可局域化性与坐标不变性方面？
• RQ5 能否构建一个统一的几何框架，使引力与电磁相互作用均作为单一基于曲率的形式系统的特例？

主要发现

• 电磁学无法在黎曼几何中被几何化，因为有效度量 $^{A}g_{\mu\nu}$ 以非局域方式依赖于速度 $x_u$，违反了黎曼结构所要求的局域性。
• 电磁学基础几何的曲率函数 $R_\lambda$ 满足 $R_\lambda = \partial_\mu F^\mu_\lambda$，当 $R_\lambda = 0$ 时可导出齐次麦克斯韦方程组。
• 带电粒子在电磁场中的运动方程恰好是基于 $ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu} + \frac{q}{cm}A_\mu dx^\mu$ 所定义几何中的测地线方程。
• 电磁拉格朗日量 $\mathcal{L} = -\frac{1}{4}F_{\mu\lambda}F^{\mu\lambda}$ 可从标量曲率函数 $R = A^\lambda R_\lambda$ 中恢复，仅相差一个全导数。
• 电磁学基础几何依赖于粒子的电荷 $q$ 与质量 $m$，而黎曼几何仅依赖于场源，表明几何由相互作用决定，而不仅由物质决定。
• 本文提出可通过结合引力与电磁场各自的曲率函数，构建一个统一几何，可能实现无需希格斯场的统一基本相互作用。