[论文解读] General GLSM Invariants and Their Cohomological Field Theories

David Favero, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 4

一句话总结

本论文通过在扭曲霍奇复形的局部上同调中引入虚拟基本类，为广义稳定性条件下的窄 sector 与宽 sector 构造了 GLSM 不变量。利用矩阵因子化的 Thom-Sullivan 与 Godement 分解，以及源自 Atiyah 类的局部化陈特征，作者证明这些不变量构成一个上同调场论，从而扩展了枚举几何与 Landau-Ginzburg 模型中的先前工作。

ABSTRACT

We construct GLSM invariants for a general choice of stability in both the narrow and broad sector cases and prove they form a Cohomological Field Theory. This is obtained by forming the analogue of a virtual fundamental class which lives in the local cohomology of the twisted Hodge complex. This general construction comes from the use of two new ingredients. First, the use of the Thom-Sullivan and Godement resolutions applied to matrix factorizations are introduced to handle poorly behaved (non-separated) moduli spaces. Second, a localized Chern character map built from the Atiyah class of a matrix factorization is utilized to forgo the use of Hochschild homology.

研究动机与目标

• 将 GLSM 不变量的构造推广至窄 sector 与宽 sector 的广义稳定性条件。
• 在扭曲霍奇复形的局部上同调中定义虚拟基本类，避免依赖 Hochschild 上同调。
• 确立这些不变量满足上同调场论的公理体系。
• 在单一框架内统一矩阵因子化、分解理论与局部化陈特征的方法。

提出的方法

• 利用 Thom-Sullivan 与 Godement 分解处理 GLSM 中出现的非分离模空间。
• 通过 cdga 分解构造虚拟因子化，并为非分离堆上的因子化定义同伦类。
• 引入源自矩阵因子化 Atiyah 类的局部化陈特征映射，避免使用 Hochschild 上同调。
• 将 Atiyah 类应用于 $C^{ty}$-设定中，以定义临界集上的积分迹映射。
• 利用带支撑条件的扭曲霍奇复形在局部上同调中定义虚拟类。
• 通过粘合与遗忘操作证明评估映射与稳定性参数选择的独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为窄 sector 与宽 sector 的任意稳定性条件构造 GLSM 不变量？
• RQ2 在模空间非分离的情况下，如何定义虚拟基本类？
• RQ3 在构造 GLSM 不变量时能否避免使用 Hochschild 上同调？
• RQ4 矩阵因子化 Atiyah 类在定义局部化陈特征中起什么作用？
• RQ5 所得不变量是否满足上同调场论的完整公理结构？

主要发现

• 在温和假设下，GLSM 不变量 $\Omega_{g,r,d}$ 构成一个带有单位元的上同调场论。
• 虚拟基本类 $[\mathfrak{U}]_{W}^{\mathrm{vir}}$ 在扭曲霍奇复形的局部上同调中被构造。
• 源自 Atiyah 类的局部化陈特征映射取代了 Hochschild 上同调在构造中的作用。
• 通过粘合与遗忘操作证明了不变量对评估映射与稳定性参数选择的独立性。
• 该构造适用于凸混合模型与宽 sector 不变量，推广了先前结果。
• 通过矩阵因子化的 Thom-Sullivan 与 Godement 分解，该方法适用于非分离模空间堆。