[论文解读] General Linear Quadratic Optimal Stochastic Control Problem Driven by a Brownian Motion and a Poisson Random Martingale Measure with Random Coefficients

Qingxin Meng|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文在随机系数条件下，证明了由布朗运动和泊松随机鞅测度驱动的多维倒向随机Riccati微分方程（带跳的BSRDEJ）解的存在性与唯一性。论文进一步证明，在一般随机系数条件下，广义线性-二次随机控制问题的最优控制可通过BSRDEJ的解表示为状态反馈形式。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to discuss detailed the stochastic LQ control problem with random coefficients where the linear system is a multidimensional stochastic differential equation driven by a multidimensional Brownian motion and a Poisson random martingale measure. In the paper, we will establish the connections of the multidimensional Backward stochastic Riccati equation with jumps (BSRDEJ in short form) to the stochastic LQ problem and to the associated Hamilton systems. By the connections, we show the optimal control have the state feedback representation. Moreover, we will show the existence and uniqueness result of the multidimensional BSRDEJ for the case where the generator is bounded linear dependence with respect to the unknowns martingale term.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：在随机系数下求解带跳的倒向随机Riccati方程（BSRDEJ）的线性-二次（LQ）随机控制问题。
• 建立BSRDEJ与LQ问题相关联的随机Hamilton系统之间的联系。
• 在一般随机系数条件下，证明最优控制可表示为状态反馈形式。
• 当生成器对鞅项L和H具有有界线性依赖时，提供BSRDEJ解的存在性与唯一性结果。
• 通过先进的BSDE技术，将经典LQ控制理论推广至带跳扩散过程且系数为随机的情形。

提出的方法

• 构建由多维布朗运动和泊松随机鞅测度驱动的一般线性-二次最优随机控制问题。
• 推导出相关的带跳倒向随机Riccati微分方程（BSRDEJ），其未知量K、L和H之间具有高度非线性关系。
• 应用不动点方法与压缩映射原理，在鞅项具有有界线性依赖的条件下，证明BSRDEJ解的存在性与唯一性。
• 利用伊腾–文策尔公式与收敛定理，分析逼近序列在L²与L²(ν)空间中的极限行为。
• 通过Riccati方程建立BSRDEJ与随机Hamilton系统之间的联系。
• 应用勒贝格收敛定理与Gronwall型估计，证明迭代序列收敛于解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数为随机且生成器对鞅项L和H具有有界线性依赖时，带跳的倒向随机Riccati方程（BSRDEJ）是否具有唯一解？
• RQ2 在随机系数条件下，广义线性-二次随机控制问题的最优控制是否可表示为状态反馈形式？
• RQ3 在跳跃扩散过程中，BSRDEJ与随机Hamilton系统之间存在何种关系？
• RQ4 在一般随机系数假设下，如何建立BSRDEJ解的存在性与唯一性？
• RQ5 泊松随机鞅测度在Riccati方程结构与反馈控制律中起何种作用？

主要发现

• 在生成器对鞅项L和H具有有界线性依赖的条件下，由布朗运动和泊松随机鞅测度驱动的多维BSRDEJ的解存在且唯一。
• 在随机系数条件下，广义线性-二次随机控制问题的最优控制可通过BSRDEJ的解表示为状态反馈形式。
• 逼近序列{K_j}对解K的收敛性在所有q > 0的L^q空间中成立，且鞅项在L²与L²(ν)范数下均收敛。
• 通过比较论证，证明了两个BSRDEJ解之间的差几乎必然非负，从而表明解的唯一性。
• 证明依赖于压缩映射原理，并应用Gronwall型不等式以控制连续逼近之间差值的增长。
• 该结果将经典LQ控制理论推广至带跳扩散过程且系数为随机的情形，扩展了先前针对确定性及无跳情形的研究。