[论文解读] General $N$-solitons and their dynamics in several nonlocal nonlinear Schrödinger equations

Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 28被引用 11

一句话总结

本文通过统一的黎曼-希尔伯特框架应用于AKNS谱系，推导出三种非局部非线性薛定谔方程——反空间、反时间、反空间-时间——的广义N-孤子解。关键贡献在于在谱平面上识别出新型本征值构型，揭示了不对应于基本孤子非线性叠加的多孤子结构，并表现出重复塌缩动力学；其中仅反空间-时间方程中的两孤子解表现为真正的非线性叠加。

ABSTRACT

General $N$-solitons in three recently-proposed nonlocal nonlinear Schrödinger equations are presented. These nonlocal equations include the reverse-space, reverse-time, and reverse-space-time nonlinear Schrödinger equations, which are nonlocal reductions of the Ablowitz-Kaup-Newell-Segur (AKNS) hierarchy. It is shown that general $N$-solitons in these different equations can be derived from the same Riemann-Hilbert solutions of the AKNS hierarchy, except that symmetry relations on the scattering data are different for these equations. This Riemann-Hilbert framework allows us to identify new types of solitons with novel eigenvalue configurations in the spectral plane. Dynamics of $N$-solitons in these equations is also explored. In all the three nonlocal equations, a generic feature of their solutions is repeated collapsing. In addition, multi-solitons can behave very differently from fundamental solitons and may not correspond to a nonlinear superposition of fundamental solitons.

研究动机与目标

• 推导反空间、反时间与反空间-时间非局部NLS方程的广义N-孤子解，此前这些方程尚无精确的多孤子解。
• 阐明散射数据中对称性关系在区分这些非局部方程与经典局部NLS方程中的作用。
• 研究这些方程中的多孤子是否代表基本孤子的非线性叠加，鉴于先前研究中缺乏此类解。
• 解决黎曼-希尔伯特框架中上半平面与下半平面本征值数量不等的开放问题，特别是在非局部情形下。
• 探索N-孤子的动力学行为，特别是重复塌缩现象，该现象在所有三种非局部方程中均为普遍特征。

提出的方法

• 将黎曼-希尔伯特问题应用于AKNS谱系以推导N-孤子解，解由满足特定对称约束的散射数据构造而成。
• 通过在散射数据上施加不同的对称关系——具体为 r(x,t) = -q*(−x,t)、r(x,t) = -q(x,−t) 与 r(x,t) = -q(−x,−t)——分别生成反空间、反时间与反空间-时间NLS方程。
• 分析复谱平面上的本征值构型，以识别新的孤子结构，包括ℂ₊与ℂ₋中本征值非共轭对或分布不均的情况。
• 通过允许上半平面与下半平面中本征值数量不等，将逆散射变换扩展至非局部情形，这仅因非局部对称性而可能实现。
• 利用数值模拟可视化解的动力学，包括本征值构型与随时间演化的孤子轮廓，以比较多孤子与基本孤子。
• 该框架通过求解具有非标准对称条件的黎曼-希尔伯特问题，实现了精确的N-孤子解推导，从而产生新型孤子类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用统一的黎曼-希尔伯特方法推导出反空间、反时间与反空间-时间非局部NLS方程的广义N-孤子解？
• RQ2 这些非局部方程的散射数据中对称关系与经典局部NLS方程有何不同？
• RQ3 这些非局部方程中的多孤子是否代表基本孤子的非线性叠加，还是表现出根本不同的动力学？
• RQ4 当非局部方程的黎曼-希尔伯特问题中上半平面与下半平面的本征值数量不等时，会发生什么？
• RQ5 为何非局部NLS方程中的多孤子表现出重复塌缩？这种行为与局部方程中的孤子有何不同？

主要发现

• 反空间、反时间与反空间-时间NLS方程的广义N-孤子解均来自AKNS谱系的同一黎曼-希尔伯特框架，差异仅源于散射数据上不同的对称条件。
• 在三者中，仅反空间-时间NLS方程的两孤子解对应于两个基本孤子的非线性叠加，该结论通过本征值构型与解轮廓得到验证。
• 反空间与反时间NLS方程中的多孤子不表现为基本孤子的非线性叠加，而是表现出在经典局部NLS方程中未见的显著且新颖的解模式。
• 重复塌缩是所有三种非局部NLS方程解的普遍特征，其振幅与波形随时间动态变化。
• 黎曼-希尔伯特框架允许ℂ₊与ℂ₋中本征值数量不等，当本征值非对称分布时（如ℂ₊中仅有一对纯虚本征值），会导致解无界。
• 具有两个本征值均位于iℝ₊上的基本孤子在空间上无界，因此并非真正的孤子，表明本征值数量不等可导致非孤子型发散解。