[论文解读] General Relativity à la string: a progress report

T. Regge, Claudio Teitelboim|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2016

Relativity and Gravitational Theory被引用 21

一句话总结

该论文提出了一种在更高维流形（例如 R¹⁰）中使用时空嵌入变量的广义相对论的规范形式，将嵌入函数视为基本场而非度规。该方法旨在与弦理论的形式体系相类比，但一个关键障碍依然存在：法向形变的生成元（即“第四约束”）尚无法以闭合形式写出，导致理论仍不完整，尽管其结构与弦理论和规范引力理论具有令人鼓舞的类比性。

ABSTRACT

Preliminary results on a canonical formulation of general relativity based on an analogy with the string model of elementary particles are presented. Rather than the metric components, the basic fields of the formalism are taken to be the functions describing the embedding of four dimensional spacetime in a ten or possibly higher dimensional manifold. So far, the main drawback of the formalism is that the generator of normal deformations ("fourth constraint") cannot be written down in closed form. The present approach is compared and contrasted with the usual one and with the canonical description of the relativistic string.

研究动机与目标

• 开发一种广义相对论的规范形式，其结构与相对论弦模型类似，通过将嵌入坐标作为基本变量。
• 克服传统 ADM 形式体系的局限性，特别是难以实现规范固定以及构建一致量子理论的问题。
• 探索将四维时空嵌入更高维流形（例如 R¹⁰）是否能为引力提供一种新的、更易处理的规范框架。
• 评估从嵌入形式体系导出的约束——尤其是法向形变约束——是否可为第一类约束，以确保与爱因斯坦方程的一致性。
• 研究在此基于嵌入的形式体系中，是否可构造出类似于弦理论中 DDF 算符的新一类算符。

提出的方法

• 采用更高维嵌入形式体系，其中四维时空通过坐标函数 $ y^A(x^ u) $ 嵌入十维或更高维流形中，将这些函数视为基本动力学变量。
• 从希尔伯特作用量出发，通过将时空度规和曲率用嵌入函数及其一阶与二阶导数表示，推导出规范结构。
• 引入由嵌入几何导出的约束 $ ilde{ ho}_ u $ 和 $ G_{oteta} $，其中 $ G_{oteta} $ 扮演哈密顿量和动量约束的角色。
• 尝试将法向形变约束 $ ilde{ ho}_ot $ 用共轭动量 $ ilde{ ho}^A $ 和由诱导度规及嵌入导数构造的矩阵 $ M_{AB} $ 表达。
• 利用矩阵 $ M_{AB} $，其定义为将 $ W_{AB} $ 限制在与空间梯度 $ ilde{y}_{,i} $ 正交的子空间上后的逆矩阵，以期将约束表达为可能的闭合形式。
• 分析八个约束（四个来自 $ G_{oteta} $，四个来自 $ ilde{ ho}_i $）的泊松括号闭包，以判断其是否为第一类约束，这将确保理论的一致性并等价于爱因斯坦理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在更高维空间中使用嵌入坐标，将广义相对论重新表述为规范形式，类比于弦理论的方法？
• RQ2 为何法向形变的生成元（即“第四约束”）尚无法以闭合形式表达？是什么阻碍了完整规范形式的建立？
• RQ3 从嵌入形式体系导出的约束——尤其是 $ G_{otot} $、$ G_{ot i} $、$ ilde{ ho}_ot $ 和 $ ilde{ ho}_i $——是否为第一类？其闭包性对理论一致性意味着什么？
• RQ4 能否利用从嵌入几何导出的矩阵 $ M_{AB} $，构造出哈密顿量约束的闭合表达式？
• RQ5 在弦理论中 DDF 算符与本基于嵌入的引力形式体系中是否存在新一类算符之间的结构类比？

主要发现

• 该形式体系成功地将广义相对论重新表述为嵌入函数 $ y^A $ 及其共轭动量的形式，其中空间度规和曲率均由这些变量导出。
• 约束 $ ilde{ ho}_i \to 0 $ 和 $ G_{oteta} \to 0 $ 由嵌入几何导出，其中 $ G_{oteta} $ 扮演哈密顿量和动量约束的角色。
• 法向形变约束 $ ilde{ ho}_ot $ 表达为 $ \tilde{ ho}_\bot \to g^{1/2} \big( (M^2)_{AB} \tilde{\rho}^A \tilde{\rho}^B + 1 \big) \to 0 $，其中 $ M_{AB} $ 为矩阵 $ W_{AB} $ 在与 $ \tilde{y}_{,i} $ 正交补空间上的限制的逆矩阵。
• 矩阵 $ M_{AB} $ 为对称矩阵，由嵌入函数及其一阶与二阶导数构造，但由于其在包含零方向 $ \tilde{y}_{,i} $ 的全空间上不可逆，导致推导复杂化。
• 八个约束（35a）–（35d）在形式上是闭包的，但其第一类性质尚未得到证明，原因在于对 $ M_{AB} $ 结构的了解尚不充分。
• 若这些约束为第一类，则理论一致且等价于爱因斯坦方程；否则，该理论可能仅用于固定规范，而非真正减少物理自由度。